Что такое истина и ложь?

[epros]

man в сообщении #217690 писал(а):

Скорее, я задумался на тему: если в отрицании истины смешаны ложь и противоречие, то двойное отрицание не всегда ведет к истине, иногда к противоречию.

Мне кажется, Вы пытаетесь смешать в одну кучу интуиционизм и классическую логику. Ложь по определению есть отрицание истины. Другое дело, что в инуиционизме нет утверждения о двузначности логических значений, поэтому нельзя делать вывод, что отрицание лжи - это истина (ибо неверно, что "третьего не дано").

man в сообщении #217690 писал(а):

Можно не признать ложным (а признать противоречивым) то, что предметная теория сводит к противоречию,

Если Вы не принимаете логический закон $(p \rightarrow (a \wedge \neg a)) \rightarrow \neg p$, то Ваше исчисление - не классическое и не интуиционистское, а какое-то третье.

Если же принимаете, что сведённое в теории к противоречию = опровергнутое, значит для Вас остаётся единственный путь не считать его ложным: не принять саму данную теорию (признать ошибочной).

man в сообщении #217690 писал(а):

отрицание лжи – истина

Вот, вот - это уже не интуиционистская логика.

man в сообщении #217690 писал(а):

Вопрос о том, что если в теории высказывание ложно(противоречиво), а в метатеории противоречиво (ложно), то отрицание, в одной ведет к противоречию, а в другой к истине.

Всё же непонятно. Определите, что Вы считаете ложным. Противоречивость, как я понимаю, это вывод $a \wedge \neg a$ из данного предположения?

[Свободный Художник]

epros в сообщении #216771 писал(а):

Свободный Художник в сообщении #216547 писал(а):

В том, что “формальные системы, не сводящиеся к булевой алгебре существуют” нет никакого сомнения. В своем посте я явно оговорил, что речь идет не о возможных логических исчислениях вообще, а конкретно о классическом исчислении высказываний. Для него имеет место именно тот “медицинский факт”, о котором я упомянул.

Понятное дело, что если принять полный набор аксиом классического исчисления высказываний, то мы получим булеву алгебру. А если принять набор аксиом интуиционистского исчисления высказываний, то мы получим алгебру Гейтинга. Я-то говорил о другом: При определении формальной теории не имеет принципиального значения, какой алгебре подчиняются логические значения - как определим, так и будет.

Наверное, все же, не совсем так.
Ведь булевы алгебры и алгебры Гейтинга не были занесены к нам инопланетянами, а мы потом стали их исследовать с использованием понятий истинности-ложности.
Скорее наоборот, эти алгебы сформировались в результате размышлений об истинности-ложности предложений в логике, о которых Брауэр, например, написал:

Цитата:

Пусть те, кто придет после меня, задаются вопросом, почему я построил эти умозрительные конструкции и как их можно интерпретировать в некоторой философии;
я же довольствуюсь тем, что я их построил, будучи убежден в том, что они содействуют прояснению человеческого мышления.

Голдблатт Э. Топосы.
(Категорный анализ логики)
Пер. с англ., М.: "Мир", 1983, с. 186
http://www.px-pict.com/9/6/2/3/7/1/1/2.html

[epros]

Свободный Художник в сообщении #217722 писал(а):

хочу обратить Ваше внимание, что мы находимся в теме “Что такое истина и ложь?”, а не в теме об исчислении предикатов.

Да, именно поэтому у меня возникает вопрос, что это за "интерпретация", которая определяет значение истинности для высказывания, и раз уж мы определяем значения истинности с помощью "интерпретаций", то нафига нам тогда нужны теории?

Свободный Художник в сообщении #217722 писал(а):

По моему мнению, этот вопрос (т. е. “Что такое истина и ложь?”) вполне можно обсудить в контексте исчисления высказываний. Например, в контексте классического и интуиционистского исчислений высказываний. Уж во всяком случае, его можно обсудить здесь “в первом приближении”.

Я не вижу большой ценности в обсуждении в рамках исчисления высказываний. То, что Вы написали, достаточно просто и понятно, и я бы мог резюмировать это таким образом, что мы определяем некое правило, отображающее каждое высказывание предметного языка в множество {0,1}. Но мой вопрос таким образом остался в стороне: Какое отношение к этому имеет предметная теория? Зачем мы вообще сочиняли какие-то аксиомы и правила вывода, если истинность высказывания мы будем определять не выводами теории, а с помощью какого-то правила, придуманного независимо от неё?

Свободный Художник в сообщении #217722 писал(а):

Мы можем рассматривать интерпретации, определенные выше, как “полные описания возможных миров”, заимствуя термин “возможный мир” из “Трактата” Л. Витгенштейна.

И нафига нам эта "полнота", которая к тому же является липовой, поскольку полностью и однозначно разрешаются все вопросы отнюдь не какого-то реального "мира", а всего-лишь некоторого заведомо ограниченного языка? Вот теория - совсем не обязательно даёт однозначные ответы на все вопросы языка, в котором она сформулирована. Ну и что? Это нормально, некоторые вопросы просто выходят за рамки предметных областей соответствующих теорий.

Свободный Художник в сообщении #217722 писал(а):

Т.е. истинностных значений по прежнему строго два, а логика получается интуиционистской.

По-моему, это оксюморон. В интуиционистской логике всё-таки больше логических значений. Да, можно искусственно исключить из рассмотрения высказывания, имеющие "неклассические" логические значения, так что среди рассматриваемых высказываний будут встречаться "строго два" логических значения. Но это и означает, что в данной предметной области мы сможем применять закон исключённого третьего, т.е. классическую логику, а не интуиционистскую.

-- Чт май 28, 2009 11:15:29 --

Свободный Художник в сообщении #217756 писал(а):

epros в сообщении #216771 писал(а):

Понятное дело, что если принять полный набор аксиом классического исчисления высказываний, то мы получим булеву алгебру. А если принять набор аксиом интуиционистского исчисления высказываний, то мы получим алгебру Гейтинга. Я-то говорил о другом: При определении формальной теории не имеет принципиального значения, какой алгебре подчиняются логические значения - как определим, так и будет.

Наверное, все же, не совсем так.
Ведь булевы алгебры и алгебры Гейтинга не были занесены к нам инопланетянами, а мы потом стали их исследовать с использованием понятий истинности-ложности.
Скорее наоборот, эти алгебы сформировались в результате размышлений об истинности-ложности предложений в логике,

Непонятно, против чего Вы возражаете? Я не сказал, что логика была занесена к нам инопланетянами. Скорее, классическая логика была "занесена к нам" рассуждениями Аристотеля и его последователей (часть из которых довольно спорны, на что и обратил внимание Брауэр).

[Свободный Художник]

epros в сообщении #217758 писал(а):

Свободный Художник в сообщении #217722 писал(а):

По моему мнению, этот вопрос (т. е. “Что такое истина и ложь?”) вполне можно обсудить в контексте исчисления высказываний. Например, в контексте классического и интуиционистского исчислений высказываний. Уж во всяком случае, его можно обсудить здесь “в первом приближении”.

Я не вижу большой ценности в обсуждении в рамках исчисления высказываний. То, что Вы написали, достаточно просто и понятно, и я бы мог резюмировать это таким образом, что мы определяем некое правило, отображающее каждое высказывание предметного языка в множество {0,1}. Но мой вопрос таким образом остался в стороне: Какое отношение к этому имеет предметная теория? Зачем мы вообще сочиняли какие-то аксиомы и правила вывода, если истинность высказывания мы будем определять не выводами теории, а с помощью какого-то правила, придуманного независимо от неё?

Хорошо, Вы меня убедили.
Давайте расмотрим в качестве примера первопорядковую теорию, сигнатура которой состоит из единственного бинарного предикатного символа и которая содержит единственную аксиому транзитивности.
Эта теория имеет интерпретации и модели.

Пожалуйста, поясните на этом примере Вашу сентенцию: “истинность высказывания мы будем определять выводами теории”.

[epros]

Свободный Художник в сообщении #217997 писал(а):

Давайте расмотрим в качестве примера первопорядковую теорию, сигнатура которой состоит из единственного бинарного предикатного символа и которая содержит единственную аксиому транзитивности.
Эта теория имеет интерпретации и модели.

Пожалуйста, поясните на этом примере Вашу сентенцию: “истинность высказывания мы будем определять выводами теории”.

Что именно я здесь должен пояснить? Есть некоторые достаточно общие высказывания, которые в этой теории доказуемы (например, сама аксиома транзитивности), и есть некоторые, которые в этой теории опровержимы. Принимая теорию, я готов траковать первые как "истинные", а вторые - как "ложные". Естественно, большая часть "интересных" высказываний остаются недоказуемыми и неопровержимыми, поэтому об их "значении истинности" я ничего не говорю.

В рамках какой-то конкретной задачи я могу добавить к теории аксиомы, касающиеся рассматриваемого случая, и получить в результате доказательства некоторых дополнительных высказываний. Например, добавив аксиомы:
$1 < 2$
и
$2 < 3$,
с помощью аксиомы транзитивности я могу доказать, что $1 < 3$.

По-моему, именно такова практика "определения истинности" при решении конкретных практических задач.

[Свободный Художник]

Вы сводите понятие “истинности” предложений первопорядкового языка к их доказуемости в той или иной теории. Значит, в одной теории “истинными” будут одни предложения, в другой – другие, а “самыми истинными” будут, по-видимому, те, которые следуют из аксиом чистого исчисления предикатов.

Обычно так не делают. В чисто синтаксические рассмотрения не тянут понятие “истинности”. Обходятся понятием “доказуемости”. Мы можем представит нашу первопорядковую теорию транзитивных отношений $T$ как разновидность “формальных аксиоматических теорий” (например, в определении Э. Мендельсона:
Мендельсон Э. “Введение в математическую логику”.
2-е изд./Пер. с англ. М.: Наука (физ.-мат.), 1976, с. 36:
http://www.px-pict.com/9/6/2/3/1/3.html).

Как видим, там не фигурирует понятие “истинности”. Выражение вида: $\vdash_T \varphi$ означает, что первопорядковое предложение $\varphi$ доказуемо в теории $T$. Вы хотите дополнительно еще сказать, что предложение $\varphi$ “истинно” в теории $T$.

Не кажется ли Вам, что поступая таким образом, Вы без нужды удваиваете понятия?
Бритва Оккама предписывает это зарезать.

[Свободный Художник]

Синтаксис -- вещь односторонняя и поэтому должен быть уравновешен семантикой.
Вот во взаимодействии синтаксиса и семантики и появляется “истинность”. Имеется очень общая схема, описывающая это взаимодействие.

Свободный Художник в сообщении #208113 писал(а):

Алгебра Линденбаума-Тарского имеет “синтаксический” смысл.
Но интересна также изоморфная ей “семантическая” булева алгебра.

Определить последнюю проще всего, наверное, если воспользоваться конструкцией Г. Биркгофа с “полярностями”, адаптировав ее для случая пропозициональной логики.
Биркгоф Г. Теория решеток.
Пер. с англ., М.: "Наука", 1984, сс. 163 — 165.
http://www.px-pict.com/9/4/4.html

Т. е. в качестве класса $J$ взять язык исчисления высказываний, в качестве класса $I$ взять множество всех интерпретаций этого языка, а в качестве “спаривающего” отношения $\rho$ взять отношение $\vDash$ из теории моделей.
Для любой формулы $\varphi$ языка $J$ и для любой интерпретации $i \in I$ обычным образом читаем выражение $i \vDash \varphi$ как “формула $\varphi$ истинна в интерпретации $i$” (т. е. интерпретация $i$ является моделью для $\varphi$).

Описанная конструкция вполне “катит” и в контексте рассматриваемого нами первопорядкового языка в сигнатуре, состоящей из единственного бинарного предикатного символа.
В качестве класса $J$ берем множество всех первопорядковых предложений в указанной сигнатуре (т. е. множество всех правильно построенных формул языка, не содержащих свободных переменных). Класс $J$ -- это наше “синтаксическое пространство”, его “точками” являются предложения.
В качестве класса $I$ берем множество всех интерпретаций этого языка; класс $I$ -- это наше “семантическое пространство”, его “точками” являются интерпретации.

Для любой формулы $\varphi$ языка $J$ и для любой интерпретации $i \in I$ обычным образом читаем выражение $i \vDash \varphi$ как “формула $\varphi$ истинна в интерпретации $i$” (т. е. интерпретация $i$ является моделью для $\varphi$).

Берем любую формулу $\varphi$ языка $J$. Ее “полярой” является множество всех интерпретаций, в которой она истинна.
Берем любую интепретацию $i \in I$, принадлежащую нашему семантическому пространству $I$. Ее “полярой” является множество всех предложений языка $J$, истинных в интерпретации $i$.

[epros]

Свободный Художник в сообщении #218675 писал(а):

Вы сводите понятие “истинности” предложений первопорядкового языка к их доказуемости в той или иной теории. Значит, в одной теории “истинными” будут одни предложения, в другой – другие, а “самыми истинными” будут, по-видимому, те, которые следуют из аксиом чистого исчисления предикатов.

Разумеется, что будет признано истинным - это зависит от того, какие теории приняты. Приняты одновременно могут быть несколько теорий, но совсем не обязательно - вообще все известные нам теории. Аксиомы исчисления предикатов не "самые истинные", а просто одни из самых общих (абстрактных). Вряд ли от более конкретных утверждений можно ожидать, что они останутся истинными во всех мыслимых ситуациях. Например, утверждение: "Тепло", - сегодня истинно, а завтра может оказаться ложным.

По-моему, это соответствует сложившейся практике использования теоретического знания.

Свободный Художник в сообщении #218675 писал(а):

Обычно так не делают. В чисто синтаксические рассмотрения не тянут понятие “истинности”. Обходятся понятием “доказуемости”.

Я понимаю, что "обычно так не делают". Это одна из тех вредных традиций классической логики, которые происходят из глубокой древности, и, по-моему, только "уважение к её сединам" не позволяет нам с ней покончить. Дело в том, что закон исключённого третьего как таковой сформулировал ещё Аристотель, и с тех пор все к нему так привыкли, что не захотели от него отказаться даже тогда, когда всем стало понятно, что ни в одной достаточно содержательной формальной системе, определяющей способ исчисления значений истинности высказываний, он не работает. Отсюда - абсурдная ситуация, когда абстрактное представление об Аристотелевской абсолютной истине существует само по себе, а реальные способы определения значений истинности - сами по себе, нам же приходится отличать "доказанное" от "истинного", рискуя раздвоением сознания. Ради чего? Чтобы спасти этот сомнительный закон, неизвестно с чего пришедший в голову Аристотеля?

Свободный Художник в сообщении #218675 писал(а):

Не кажется ли Вам, что поступая таким образом, Вы без нужды удваиваете понятия?
Бритва Оккама предписывает это зарезать.

Нет, я-то как раз не удваиваю понятия, а предлагаю ликвидировать лишнее понятие "доказуемости", которое дублирует всегда применявшееся и до сих пор применяющееся на практике понятие "возможность определить истинность высказывания". Дублировал понятия тот, кто первым предложил отличать "доказанное в одной из правильных теорий" от "истинного". И чего он добился? Понятие "интерпретации", которая должна определить значения истинности (одно из двух) для всех высказываний, всё равно определяется в рамках некоторой теории, в языке которой всё равно останутся высказывания, значения истинности которых не определены.

[Свободный Художник]

epros в сообщении #218830 писал(а):

Свободный Художник в сообщении #218675 писал(а):

Вы сводите понятие “истинности” предложений первопорядкового языка к их доказуемости в той или иной теории. Значит, в одной теории “истинными” будут одни предложения, в другой – другие, а “самыми истинными” будут, по-видимому, те, которые следуют из аксиом чистого исчисления предикатов.

Разумеется, что будет признано истинным - это зависит от того, какие теории приняты. Приняты одновременно могут быть несколько теорий, но совсем не обязательно - вообще все известные нам теории. Аксиомы исчисления предикатов не "самые истинные", а просто одни из самых общих (абстрактных). Вряд ли от более конкретных утверждений можно ожидать, что они останутся истинными во всех мыслимых ситуациях. Например, утверждение: "Тепло", - сегодня истинно, а завтра может оказаться ложным.

По-моему, это соответствует сложившейся практике использования теоретического знания.

А какие теории должны быть приняты?
В нашем примере первопорядкового языка, сигнатура которого состоит из единственного бинарного предикатного символа, мы можем строить теории о самых разных бинарных отношениях.

Но на практике, однако, используются теории, аксиоматизирующие относительно небольшое количество классов отношений. Означает ли это, по Вашему, что именно эти теории и “приняты” (среди бесконечного многообразия вообще всех возможных теорий о бинарных отношениях)?

Почему именно они приняты? В частности, почему свойство транзитивности бинарного отношения так важно? Например, в “мереологических” теориях, аксиоматизирующих отношение “часть - целое” в его самых разнообразных проявлениях, свойство транзитивности этого отношения является наиважнейшим.
http://en.wikipedia.org/wiki/Mereology
http://en.wikipedia.org/wiki/Whitehead%27s_point-free_geometry
http://en.wikipedia.org/wiki/Part-whole_theory

Как можно верифицировать “истины”, продуцируемые теорией транзитивных отношений?

[epros]

Свободный Художник в сообщении #219551 писал(а):

А какие теории должны быть приняты?
В нашем примере первопорядкового языка, сигнатура которого состоит из единственного бинарного предикатного символа, мы можем строить теории о самых разных бинарных отношениях.

Но на практике, однако, используются теории, аксиоматизирующие относительно небольшое количество классов отношений. Означает ли это, по Вашему, что именно эти теории и “приняты” (среди бесконечного многообразия вообще всех возможных теорий о бинарных отношениях)?

Почему именно они приняты? В частности, почему свойство транзитивности бинарного отношения так важно?

Я вижу, что Вы сейчас пытаетесь трактовать "принятость" теории как некое изначально и навечно действующее правило, своего рода "абсолютную истину" - вполне в духе классической логики. Мой подход не таков. Я полагаю, что мы вправе сами решать, какие теории принимать, а какие нет. Естественно, ответственность за последствия таковых решений тоже ложится на нас. И замечу, что мы вправе менять эти решения в зависимости от обстоятельств, в которых мы находимся. Насколько я понимаю, на практике так всё и происходит: Если нам для какой-то практической надобности потребуется решить задачу, использовав формализмы классической механики, то мы тем самым считаем классическую механику за теорию, применимую в рамках соответствующей предметной области, т.е. "принимаем" её. Но это не значит, что классическая механика применима везде и всегда. И это не значит, что мы держим в голове исчерпывающий формализм, определяющий, когда именно применима классическая механика, а когда нет. На самом деле наше решение применить её может быть формально ничем не обоснованным.

Другое дело, если нам потребуется обоснование того, что теория может быть принята (в рамках соответствующей предметной области). Таковое обоснование по своей сути является метатеоретическим доказательством. Соответствующая метатеория даже может быть строго формализованной, но не обязательно. Например, в физике, как правило, достаточным обоснованием теории считается конечная совокупность экспериментов, выполненных с ограниченной точностью и к тому же при не вполне точно определённых условиях. Понятное дело, что с формальной логической точки зрения конечная совокупность конкретных выводов не может быть абсолютным обоснованием теории, количество потенциальных выводов которой бесконечно (а таких теорий - большинство). Тем не менее, рассуждение о том, что такие-то результаты таких-то экспериментов "подтверждают" теорию, - это тоже своего рода "доказательство в теории" (в мета-теории). Здесь приставка "мета-" понимается в обычном смысле: если теория говорит что-то о другой теории, то она по отношению к ней - "мета-".

Свободный Художник в сообщении #219551 писал(а):

Как можно верифицировать “истины”, продуцируемые теорией транзитивных отношений?

Это зависит от того, что Вы будете считать достаточной верификацией. На самом-то деле свойство транзитивности, при всей его важности, отнюдь не является "абсолютной истиной". Известны и применяются на практике множество бинарных отношений, не обладающих свойством транзитивности. Поэтому сама постановка вопроса о том, должна ли быть принята указанная теория, является недостаточно конкретной: для одних приложений может быть принята, а для других - нет. Для отношения "включения" одного объекта в другой, наверное, должна быть принята. Почему? Наверное потому, что иначе это уже не будет являться отношением включения. Последнее - это уже своего рода "метатеоретическое" рассуждение.

[man]

Цитата:

Мне кажется, Вы пытаетесь смешать в одну кучу интуиционизм и классическую логику. Ложь по определению есть отрицание истины. Другое дело, что в инуиционизме нет утверждения о двузначности логических значений, поэтому нельзя делать вывод, что отрицание лжи - это истина (ибо неверно, что "третьего не дано").
Если Вы не принимаете логический закон , то Ваше исчисление - не классическое и не интуиционистское, а какое-то третье.
Если же принимаете, что сведённое в теории к противоречию = опровергнутое, значит для Вас остаётся единственный путь не считать его ложным: не принять саму данную теорию (признать ошибочной).
Всё же непонятно. Определите, что Вы считаете ложным. Противоречивость, как я понимаю, это вывод $a \land \neg a$ из данного предположения?

Я начал как раз с предложения обсудить, что такое ложь, и в чем ее отличие от противоречия, т.к. об истине и так говорят достаточно. Но я не могу сформулировать, что такое ложь.
К вопросу о том, что одно и тоже утверждение в теории и метатеории может быть ложным и не ложным. Выше я привел пример с "множеством всех множеств", которое обозначил:
$\exists a \forall b (b \in a)$.
Противоречивость или ложность этой формулы не очевидна, т.к. $a$ и $b$ могут быть объектами разного уровня. Эта формула ложна в теории, где все объекты одного уровня и может быть истинной в метатеории: "существует каталог всех множеств".
В то же время, в обоих теориях есть истинное утверждение: $\exists a \forall b (b \notin a)$, но его отрицание и есть обсуждаемая формула.
Я не уверен, что в какой-либо теории можно сформулировать утверждение о том, что все ее объекты - одного уровня иерархии, по моему это ведет к противоречивости теории.
Если же в теории это не утверждается, то приведенный Вами закон:
$p \rightarrow (\forall b (b \in a) \land \forall b (b \notin a)) \rightarrow \neg p$, можно интерпретировать так: $p \land \neg p$ не противоречиво, т.к. $\forall b (b \in a)$ и $\forall b (b \notin a)$ определяют объекты разного уровня.
Если конъюнкцию в законе не считать противоречием, то $\neg p$ и саму теорию, вполне можно считать истинными, а один из ее объектов - $p$- противоречивым (или истинным, ложным, неопределеным), теория от этого не перестанет быть непротиворечивой. Просто, если развивать эту мысль далее, то некоторые утверждения теории, особенно конъюнктивные и выводы из них, могут оказаться на самом деле не доказанными (противоречивыми, неопределеными).

[epros]

man в сообщении #220650 писал(а):

Я начал как раз с предложения обсудить, что такое ложь, и в чем ее отличие от противоречия, т.к. об истине и так говорят достаточно. Но я не могу сформулировать, что такое ложь.

Ну что ж, обсудить понятие лжи можно, но чтобы было что обсуждать, нужно дать какое-нибудь определение.

Есть такой подход: вводится базовое (неопределяемое) понятие "универсальной лжи" или "абсурда", обозначаемое символом $\bot$. Предположение $\varphi$ считается опровергнутым, если в теории есть вывод $\varphi \rightarrow \bot$, т.е. если оно сводится к абсурду. Соответственно, отрицание по определению вводится как сведение к абсурду. Т.е. вводится логический закон: $(\varphi \rightarrow \bot) \rightarrow \neg \varphi$. Иногда вместо "сведения к абсурду" говорят о "сведении к противоречию", поскольку подразумевается логический закон $\varphi \wedge \neg \varphi \rightarrow \bot$ (т.е. доказательство одновременно и высказывания, и его отрицания автоматически считается абсурдом).

Согласно такому определению "ложное" - это есть отрицание "истинного". Это всё работает и в классическом, и в интуиционистском исчислениях предикатов.

man в сообщении #220650 писал(а):

К вопросу о том, что одно и тоже утверждение в теории и метатеории может быть ложным и не ложным. Выше я привел пример с "множеством всех множеств", которое обозначил:
$\exists a \forall b (b \in a)$.
Противоречивость или ложность этой формулы не очевидна, т.к. $a$ и $b$ могут быть объектами разного уровня. Эта формула ложна в теории, где все объекты одного уровня и может быть истинной в метатеории: "существует каталог всех множеств".

Совершенно верно! Вся проблема в том, что $a$ не может быть объектом того же уровня иерархии, что и другие объекты теории множеств. Если определить новый уровень иерархии, то проблема снимается. Мало того, поскольку метатеория уже работает с объектами другого уровня иерархии, она без дополнительных определений может непротиворечиво утверждать существование "множества всех множеств":
$\exists a \forall b ((T \vdash \exists b) \rightarrow b \in a)$

Как видите, формулировка несколько отличается от Вашей: здесь есть дополнительное условие, которое говорит о том, что речь идёт о множестве не всех множеств "вообще", а о множестве всех множеств, определённых теорией $T$. Т.е. в самой формуле использованы некие синтаксические возможности для отделения объектов "другого уровня иерархии". При этом неважно каков будет этот синтаксис. В NBG, например, классы (следующий уровень иерархии), вроде бы, принято обозначать большими буквами, а множества - маленькими. Но важно, чтобы такие синтаксические возможности были.

man в сообщении #220650 писал(а):

В то же время, в обоих теориях есть истинное утверждение: $\exists a \forall b (b \notin a)$, но его отрицание и есть обсуждаемая формула.

Здесь Вы ошиблись: Отрицание $\exists a \forall b (b \in a)$ это $\forall a \exists b (b \notin a)$, да и то только в классической логике (в интуиционистском исчислении предикатов всё несколько сложнее).

man в сообщении #220650 писал(а):

Если же в теории это не утверждается, то приведенный Вами закон:
$p \rightarrow (\forall b (b \in a) \land \forall b (b \notin a)) \rightarrow \neg p$, можно интерпретировать так: $p \land \neg p$ не противоречиво, т.к. $\forall b (b \in a)$ и $\forall b (b \notin a)$ определяют объекты разного уровня.

Непонятно о чём тут Вы. Утверждение высказывания и одновременно его отрицание - это и называется "противоречием", по определению.

[man]

Цитата:

Как видите, формулировка несколько отличается от Вашей: здесь есть дополнительное условие, которое говорит о том, что речь идёт о множестве не всех множеств "вообще", а о множестве всех множеств, определённых теорией $T$. Т.е. в самой формуле использованы некие синтаксические возможности для отделения объектов "другого уровня иерархии". При этом неважно каков будет этот синтаксис. В NBG, например, классы (следующий уровень иерархии), вроде бы, принято обозначать большими буквами, а множества - маленькими. Но важно, чтобы такие синтаксические возможности были.

Да, а если их нет ?
Вы не прокомментировали мое утверждение: "Я не уверен, что в какой-либо теории можно сформулировать утверждение о том, что все ее объекты - одного уровня иерархии". Если такое утверждение нельзя построить, ввести как аксиому (например, в первоуровневой теории или т.к. оно противоречиво), то, наверное, следует считать, что они, по определению, не одноуровневые (даже в первоуровневой теории).

Цитата:

man в сообщении #220650 писал(а):

Если же в теории это не утверждается, то приведенный Вами закон:
$p \rightarrow (\forall b (b \in a) \land \forall b (b \notin a)) \rightarrow \neg p$, можно интерпретировать так: $p \land \neg p$ не противоречиво, т.к. $\forall b (b \in a)$ и $\forall b (b \notin a)$ определяют объекты разного уровня.

Непонятно о чём тут Вы. Утверждение высказывания и одновременно его отрицание - это и называется "противоречием", по определению.

Не знаю, абсурд получается.
Вопрос в том, как входят синтактические правила в состав самой теории, похоже именно они определяют уровень объектов. С другой стороны, сами синтактические правила тоже объекты некой теории и возможно даже той, которой они служат.

[epros]

man в сообщении #220747 писал(а):

Да, а если их нет ?

Синтаксических возможностей для обозначения иерархического уровня объекта? Значит теория не будет различать иерархические уровни объектов.

Например, в ZFC не предусмотрено таких синтаксических возможностей. Поэтому я и говорил где-то раньше о том, что бесконечные множества, о которых она говорит, находятся на том же уровне иерархии типов, что и конечные множества.

man в сообщении #220747 писал(а):

Вы не прокомментировали мое утверждение: "Я не уверен, что в какой-либо теории можно сформулировать утверждение о том, что все ее объекты - одного уровня иерархии".

Я тоже не уверен, что сама теория способна что-то сказать об уровнях всех своих объектов.

man в сообщении #220747 писал(а):

Если такое утверждение нельзя построить, ввести как аксиому (например, в первоуровневой теории или т.к. оно противоречиво), то, наверное, следует считать, что они, по определению, не одноуровневые (даже в первоуровневой теории).

Конечно же нет, не следует. Это - нормальное мета-теоретическое утверждение, которое может быть сформулировано и доказано как результат анализа синтаксиса языка предметной теории. Пример - выше: в языке, в котором обычно формализуется ZFC, не предусмотрено синтаксических возможностей для различения уровней иерархии типов. Все предметные переменные здесь равноправны.

man в сообщении #220747 писал(а):

Вопрос в том, как входят синтактические правила в состав самой теории, похоже именно они определяют уровень объектов. С другой стороны, сами синтактические правила тоже объекты некой теории и возможно даже той, которой они служат.

Синтаксис языка предметной теории определяется мета-теорией.

[Свободный Художник]

epros в сообщении #219606 писал(а):

Свободный Художник в сообщении #219551 писал(а):

А какие теории должны быть приняты?
В нашем примере первопорядкового языка, сигнатура которого состоит из единственного бинарного предикатного символа, мы можем строить теории о самых разных бинарных отношениях.

Но на практике, однако, используются теории, аксиоматизирующие относительно небольшое количество классов отношений. Означает ли это, по Вашему, что именно эти теории и “приняты” (среди бесконечного многообразия вообще всех возможных теорий о бинарных отношениях)?

Почему именно они приняты? В частности, почему свойство транзитивности бинарного отношения так важно?

Я вижу, что Вы сейчас пытаетесь трактовать "принятость" теории как некое изначально и навечно действующее правило, своего рода "абсолютную истину" - вполне в духе классической логики. Мой подход не таков. Я полагаю, что мы вправе сами решать, какие теории принимать, а какие нет. Естественно, ответственность за последствия таковых решений тоже ложится на нас. И замечу, что мы вправе менять эти решения в зависимости от обстоятельств, в которых мы находимся. Насколько я понимаю, на практике так всё и происходит: Если нам для какой-то практической надобности потребуется решить задачу, использовав формализмы классической механики, то мы тем самым считаем классическую механику за теорию, применимую в рамках соответствующей предметной области, т.е. "принимаем" её. Но это не значит, что классическая механика применима везде и всегда. И это не значит, что мы держим в голове исчерпывающий формализм, определяющий, когда именно применима классическая механика, а когда нет. На самом деле наше решение применить её может быть формально ничем не обоснованным.

Ратуете за разгул субъективизма?
Вы не можете отрицать, что существуют вездесущие математические конструкции (транзитивность в их числе).
Я спрашивал, почему именно они “вездесущие” (и в этом смысле “приняты”).

Ответ: “Что хочу, то и принимаю”, здесь явно не проходит.