2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Нахождение интеграла с помощью вычетов
Сообщение03.06.2009, 22:10 


03/06/09
3
$\int\frac{z^3dx}{z^8+1}$, интеграл по области $l:|z|=2$. Необходимо решить с помощью вычетов. Не могу разобраться, какие полюсы у функции? Или возможно как то без них решить?

 Профиль  
                  
 
 Re: Нахождение интеграла с помощью вычетов
Сообщение03.06.2009, 22:22 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


14/02/07
2648
У этой функции восемь простых полюсов --- в точках, где знаменатель равен нулю.

 Профиль  
                  
 
 Re: Нахождение интеграла с помощью вычетов
Сообщение03.06.2009, 22:33 


03/06/09
3
Это понятно, только вот в том и проблема, как их найти? Если раскладывать, $(z^4+i)*(z^4-i)$,дальше не разложишь. Видел еще формулу $\frac{2{\pi}k}{8}$,к=0,1,...,7. Сдал, найдя полюсы по такой формуле, оказалось неправильно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Нахождение интеграла с помощью вычетов
Сообщение03.06.2009, 22:40 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


22/11/06
1096
Одесса, ОНУ ИМЭМ
Вам нужны все 8 корней из $-1$ восьмой степени. Найдите в конспекте/учебнике формулу извлечений корня $n$-й степени и используйте ее.

 Профиль  
                  
 
 Re: Нахождение интеграла с помощью вычетов
Сообщение03.06.2009, 22:43 
Заслуженный участник


26/12/08
678
Гораздо лучше, быстрее и проще воспользоваться теоремой о вычетах и взять вычет на бесконечности с обратным знаком.

 Профиль  
                  
 
 Re: Нахождение интеграла с помощью вычетов
Сообщение03.06.2009, 23:08 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
А если в лоб, то так. Как было метко (хотя в тот раз и неверно) замечено, полюса суть $z_k=e^{i(\pi+2\pi k)/8}.$ Вычет в каждом полюсе есть $z_k^3/(8z_k^7)=1/(8z_k^4)=e^{-i\pi/2-i\pi k}/8=-i\cdot(-1)^k/8.$ Вполне очевидно, что сумма этих чисел по $k=0,1,2,\ldots7$ равна нулю.

 Профиль  
                  
 
 Re: Нахождение интеграла с помощью вычетов
Сообщение04.06.2009, 21:56 


03/06/09
3
Большое спасибо за помощь. Сделал, как советовал Полосин, вычет оказался также равен нулю.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 7 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group