Нахождение интеграла с помощью вычетов

[Lorn]

$\int\frac{z^3dx}{z^8+1}$, интеграл по области $l:|z|=2$. Необходимо решить с помощью вычетов. Не могу разобраться, какие полюсы у функции? Или возможно как то без них решить?

[Хорхе]

У этой функции восемь простых полюсов --- в точках, где знаменатель равен нулю.

[Lorn]

Это понятно, только вот в том и проблема, как их найти? Если раскладывать, $(z^4+i)*(z^4-i)$,дальше не разложишь. Видел еще формулу $\frac{2{\pi}k}{8}$,к=0,1,...,7. Сдал, найдя полюсы по такой формуле, оказалось неправильно.

[Бодигрим]

Вам нужны все 8 корней из $-1$ восьмой степени. Найдите в конспекте/учебнике формулу извлечений корня $n$-й степени и используйте ее.

[Полосин]

Гораздо лучше, быстрее и проще воспользоваться теоремой о вычетах и взять вычет на бесконечности с обратным знаком.

[ewert]

А если в лоб, то так. Как было метко (хотя в тот раз и неверно) замечено, полюса суть $z_k=e^{i(\pi+2\pi k)/8}.$ Вычет в каждом полюсе есть $z_k^3/(8z_k^7)=1/(8z_k^4)=e^{-i\pi/2-i\pi k}/8=-i\cdot(-1)^k/8.$ Вполне очевидно, что сумма этих чисел по $k=0,1,2,\ldots7$ равна нулю.

[Lorn]

Большое спасибо за помощь. Сделал, как советовал Полосин, вычет оказался также равен нулю.