производные дробных порядков

[LetsGOX]

Добрый вечер, господа!
У мня опять возник вопрос о том, что будет если в некоторых обозначения использовать не натуальные числа, а дробные и рациональные (Похожий вопрос я задавал про PowerTower(a,b) с ненатуральным b)
1 Теперь заинтересовался производными Есть такое обозначение $f(x)^{(n)}$, что означает n-ую производную. При натуральных числах это обычные n-производные, при нуле это сама исходная функция, а при отрицательных целых числах это n-первообразные А вот что будет если записать n=0,5
2 Если первый вопрос кажется бредовым, то тогда более формальный другой вопрос. Что может значить $\frac{dy}{\sqrt{dx}}$, $\frac{dz}{ln(dx) e^{dy}}$ и прочие вещи?
3 Насколько это вообще бредово пыпаться использовать ненатуральные числа в обозначениях типа "Произвести действие n раз"

[AD]

LetsGOX в сообщении #219416 писал(а):

Насколько это вообще бредово пыпаться использовать ненатуральные числа в обозначениях типа "Произвести действие n раз"

Да нормально. Научились же люди умножать $i$ на себя $i$ раз. Но это сильно понадобилось, прежде чем научились. Как бы это сказать ... "припёрло", что-ли.

LetsGOX в сообщении #219416 писал(а):

Если первый вопрос кажется бредовым, то тогда более формальный другой вопрос. Что может значить $\frac{dy}{\sqrt{dx}}$, $\frac{dz}{ln(dx) e^{dy}}$ и прочие вещи?

IMHO Это гораздо менее формальный вопрос.

А вот дробное дифференцирование и интегрирование вроде бы уже изобрели.

[LetsGOX]

AD, спасибо за ответы

Цитата:

Да нормально. Научились же люди умножать i на себя i раз. Но это сильно понадобилось, прежде чем научились. Как бы это сказать ... "припёрло", что-ли.

Это хорошо, а то так и тянет всегда использовать в таких случаях ненатуральное число, а $i^i$ это вроде бы $e^{-{\frac{\pi}{2}}}$

Цитата:

А вот дробное дифференцирование и интегрирование вроде бы уже изобрели.

Интересно было бы посмотреть примерчик

[AD]

Ну, например, при преобразовании Фурье каждое дифференцирование переходит в умножение на $i\lambda$, ну и тогда дифференцирование порядка $s$ можно определить как то, что приводит к умножению фурье-образа на $(i\lambda)^s$. Ну то есть фурьируем, множим, фурьируем обратно, получаем дробную производную. Ну или для рядов Фурье можно.

[ewert]

LetsGOX в сообщении #219416 писал(а):

2 Если первый вопрос кажется бредовым, то тогда более формальный другой вопрос. Что может значить $\frac{dy}{\sqrt{dx}}$,

Ровным счётом ничего не может значить. По размерности не сходится.

(Классы т.наз. дробно-дифференцируемых функций, с привязкой к преобразованию Фурье, но без отношения к производным как таковым -- совсем другая тема.)

[EtCetera]

LetsGOX, Ваши $\frac{dy}{\sqrt{dx}}$ и $\frac{dz}{ln(dx) e^{dy}}$ напомнили мне старую задачу-шутку (ведущую свои корни от своеобразной опечатки):
Найти интеграл $\int\frac{dx}{dx}$.
Если не догадались, вот ответ: $\frac{\ln x}{d}+C$ (просто $d$ - некоторая константа).
А если серьезно, то предложение AD мне кажется наиболее целесообразным в данном случае.

[Nxx]

Ответ на ваш вопрос тут:

http://en.wikipedia.org/wiki/Differintegral

Русская страница:
http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%94%D0% ... 0%B0%D0%BB


$\frac{dy}{\sqrt{dx}}=\sqrt{f'(x)}\sqrt{dy}$

При стремлении дифференциала к нулю, стремится к нулю и данное выражение.

[Бодигрим]

Про дробное дифференцирование, если вас не интересуют подробности, то идею может объяснить формула из Википедии , где $q$ дробное. Сравните с традиционным $D^k(t^n)={n!\over (n-k)!}t^{n-k}$ для целых $k$.

[LetsGOX]

Спасибо всем большое за ответы - теперь я по сути понял что имеет смысл и испольщзуется а что нет
Отдельное спсибо за формулу и ссылку на диферинтеграл

[PAV]

Можете посмотреть книгу

Самко С. Г., Килбас А.А., Маричев О.И. — Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их приложения.

[Nxx]

PAV в сообщении #219574 писал(а):

Можете посмотреть книгу

Самко С. Г., Килбас А.А., Маричев О.И. — Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их приложения.

Ну и где ж эту книгу брать?

[Бодигрим]

Nxx в сообщении #219591 писал(а):

Ну и где ж эту книгу брать?

poiskknig.ru

[Nxx]

о, классный сайт, не знал о таком

[nikov]

LetsGOX в сообщении #219416 писал(а):

1 Теперь заинтересовался производными Есть такое обозначение $f(x)^{(n)}$, что означает n-ую производную. При натуральных числах это обычные n-производные, при нуле это сама исходная функция, а при отрицательных целых числах это n-первообразные А вот что будет если записать n=0,5

Производные дробных порядков придумал еще Лиувилль в 19 веке. Они интересны тем, что в отличие от обычных производных, нелокальны - зависят от поведения функции в других точках.
А вот интересно, можно ли придумать обобщение, чтобы вместо $n$ стоял кватернион или матрица?

[AD]

Цитата:

А вот интересно, можно ли придумать обобщение, чтобы вместо $n$ стоял кватернион или матрица?

Можно. Например, для матриц так:

$$f^{(A)}=\begin{cases}f^{(\lambda)}&\text{при }A=\lambda\mathbf{1}\\ 0&\text{иначе}\end{cases}$$

Устраивает?