производные дробных порядков

[ewert]

arseniiv в сообщении #223143 писал(а):

О, а как вычисляли логарифм? Вроде "хорошего" ряда для него нет, чтобы применять к матрицам?

Есть. Для диагональной матрицы определяем логарифм как диагональную матрицу, полученную логарифмированием диагональных элементов. Для жордановой клетки выделяем диагональный сомножитель $\lambda\cdot I$, а к оставшемуся сомножителю вида $I+\lambda^{-1}N$ применяем стандартный степенной ряд (матричный) для логарифма. Фактически это будет не ряд, а конечная сумма, т.к. матрица $N$ нильпотентна. Формула получается вполне явной и очень простой (не считая, конечно, того, что само приведение к жордановой форме -- это некоторая проблема). То, что получится, будет действительно логарифмом в том смысле, что экспонента от него даст исходную матрицу.

Это всё, конечно, если исходная матрица невырожденна. Но для вырожденной матрицы логарифма и не существует.

[kvanttt]

arseniiv в сообщении #223143 писал(а):

О, а как вычисляли логарифм? Вроде "хорошего" ряда для него нет, чтобы применять к матрицам? А экспоненту с определённой точностью вычисляли, да?

Я пользовался обычным разложением. $\ln x_1 = 2 (x + \frac {x^3} 3 + ... + \frac {x^{2n+1}} {2n + 1} )$, где $x = \frac {x_1 - 1} {x_1 + 1}$
где $x - 1$ - вычичтание единиченой матрицы
$x + 1$ - прибавление единиченой матрицы
деление - взятие обратное и умножение
умножение на коэффициент - умножение каждого элемента матрицы на коэффициент
возведение в степень n - умножение матрицы саму на себя n раз

Может этот ряд конечно медленно сходится, но для экспериментальных рассчетов его можно применять.

Логарифм и экспоненту я вычислял не с определенной точностью, а с N количеством членов ряда.

ewert в сообщении #223258 писал(а):

Есть. Для диагональной матрицы определяем логарифм как диагональную матрицу, полученную логарифмированием диагональных элементов. Для жордановой клетки выделяем диагональный сомножитель $\lambda\cdot I$, а к оставшемуся сомножителю вида $I+\lambda^{-1}N$ применяем стандартный степенной ряд (матричный) для логарифма. Фактически это будет не ряд, а конечная сумма, т.к. матрица $N$ нильпотентна. Формула получается вполне явной и очень простой (не считая, конечно, того, что само приведение к жордановой форме -- это некоторая проблема). То, что получится, будет действительно логарифмом в том смысле, что экспонента от него даст исходную матрицу.

Это всё, конечно, если исходная матрица невырожденна. Но для вырожденной матрицы логарифма и не существует.

Я не совсем понял разложение в жорданову форму, но, возможно, мой алгоритм делает приблизительно тоже самое

[ewert]

kvanttt в сообщении #223272 писал(а):

Я не совсем понял разложение в жорданову форму,

(если я правильно понял вопрос)
Представление матрицы в виде $A=V\cdot J\cdot V^{-1},$ где $J$ -- жорданова матрица; тогда будет $\ln A=V\cdot\ln J\cdot V^{-1}.$