2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Сходимость ряда Fourier
Сообщение31.05.2009, 20:54 
Аватара пользователя


30/05/09
121
Киев
Приветствую всех, читающих это сообщение! А теперь ближе к делу. Кто-нибудь знает как быстро и максимально понятно доказать сходимость ряда Фурье?
$ f ( t ) = \frac {a_0} 2 + \sum \limits_{n=1}^{\infty} a_n \cos n \omega t + b_n \sin n \omega t $

Хотят слухи, что толковое доказательство написано в Фихтенгольце. На сколько достоверны эти слухи?

 Профиль  
                  
 
 Re: Сходимость ряда Fourier
Сообщение31.05.2009, 21:11 
Экс-модератор


17/06/06
5004
Странные у Вас вопросики. Научиться по ряду Фурье понимать, сойдется он или нет - бесконечно сложная задача, целая наука то есть. Много-много букав написано на эту тему. Далеко не все ряды фурье сходятся.

Если подкинете конкретный ряд - подумаем.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сходимость ряда Fourier
Сообщение31.05.2009, 21:15 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13626
Москва
Если ряд из модулей коэффициентов сходится, то ряд Фурье точно сходится.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сходимость ряда Fourier
Сообщение31.05.2009, 21:26 


20/04/09
1067
Brukvalub в сообщении #218703 писал(а):
Если ряд из модулей коэффициентов сходится, то ряд Фурье точно сходится.

простая задача, может кому интересно: описать в терминах пространств Соболева множество функций у которых ряд Фурье сходится по указанным выше причинам

 Профиль  
                  
 
 Re: Сходимость ряда Fourier
Сообщение31.05.2009, 21:41 
Аватара пользователя


30/05/09
121
Киев
Brukvalub в сообщении #218703 писал(а):
Если ряд из модулей коэффициентов сходится, то ряд Фурье точно сходится.


От куда это следует? Кстати говоря, я забыл уточнить. Речь идёт о самом самом классическом варианте. Функция f(t) - непрерывна и диференцирована пусть даже на всей числовой оси, и её то мы и разварачивает в ряд Фурье на некотором отрезке [a;b] .

И давайте пока не трогать Соболева. Я вообще не знаю кто это такой. Хочу посмотреть на максимально упрощенное доказательство сходимости.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сходимость ряда Fourier
Сообщение31.05.2009, 21:42 
Экс-модератор


17/06/06
5004
Alhimik в сообщении #218721 писал(а):
От куда это следует?
This is called "Признак Вейерштрасса равномерной сходимости функциональных рядов".

-- Вс май 31, 2009 22:49:00 --

Alhimik в сообщении #218721 писал(а):
Речь идёт о самом самлм классическом варианте. Функция f(t) - непрерывна и диференцирована пусть даже на всей числовой оси, и её то мы и разварачивает в ряд Фурье на некотором отрезке [a;b] .
А непрерывность производной предполагаем?
Хотя и без нее признак Дини легко справляется. Ну или признак Дирихле--Жордана, но это уже посложнее.
Но совсем прямого доказательства не знаю, вот заодно и узнаю сейчас ...

-- Вс май 31, 2009 22:57:39 --

Глянул в Фихтенгольца, но ничего подозрительного не нашел. Юзайте признак Дини наверное.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сходимость ряда Fourier
Сообщение31.05.2009, 22:06 
Аватара пользователя


30/05/09
121
Киев
Раскручивая эту тему по признаку Weierstrass 'а , я рассуждаю следующим образом: без лишних коментарий понятно, что $\left | a_n cos ( n \omega t ) \right | \leqslant a_n$ .
Т.е. необходимо доказать сходимость $ \sum\limits_{i=1}^{\infty} a_n $
Как известно
$a_n = \frac 2 T \int\limits_0^T f ( t ) cos (n \omega t)  dt $
Как доказать сходимость этого "огрызочного " ряда из только одного коэффициета
$\sum\limits_{n=1}^{\infty} \int\limits_0^T f ( t ) cos (n \omega t) dt $ ?

 Профиль  
                  
 
 Re: Сходимость ряда Fourier
Сообщение31.05.2009, 22:39 


23/05/09
192
Alhimik, так Вы же хотели посмотреть Фихтенгольца, там так раз это всё есть. Для дифференцируемой $f(x)$ там это выводится из признака Липшица

 Профиль  
                  
 
 Re: Сходимость ряда Fourier
Сообщение01.06.2009, 08:20 
Экс-модератор


17/06/06
5004
Цитата:
Т.е. необходимо доказать сходимость $\sum\limits_{i=1}^\infty a_n$
Не "необходимо", а "достаточно". И не "сходимость", а "абсолютную сходимость". И не $a_n$, а $a_i$. :roll:

И я, кстати, не уверен, что она всегда будет даже в случае $C^1$. А в случае просто дифференцируемых функций, скорее всего, вообще кошмарные коэффициенты могут быть (даже к нулю вроде стремиться не обязаны).

Я не уверен ни в чем, что только что сказал в последнем абзаце. Может, кто-нибудь этот вопрос мне прояснит? Еще подумаю над идеей terminator-II.

-- Пн июн 01, 2009 09:33:51 --

Функция $$f(x)=\sum_{n=1}^\infty\frac{\sin nx}{n\ln n}$$ по моим данным абсолютно непрерывна на всем отрезке и $C^2$ (и, наверное, даже аналитична) внутри интервала. Как она себя ведет в концевых точках? Есть ли там производная?

Это я к тому, что у нее, такой хорошей, ряд из коэффициентов расходится.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сходимость ряда Fourier
Сообщение01.06.2009, 10:53 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


22/11/06
1096
Одесса, ОНУ ИМЭМ
Alhimik в сообщении #218721 писал(а):
Кстати говоря, я забыл уточнить. Речь идёт о самом самом классическом варианте. Функция f(t) - непрерывна и диференцирована пусть даже на всей числовой оси, и её то мы и разварачивает в ряд Фурье на некотором отрезке [a;b] .

Посмотрел в свои конспекты по матану. Мы признак сходимости ряда Фурье в точке (признак Дини) доказывали исходя из следующей леммы: если функция $f$ абсолютно интегрируема на $[0,\pi]$ и $2\pi$-периодична, то при любом $\delta\in(0,\pi]$ следующие интегралы сходятся или расходятся одновременно:
$$ \int_{0}^\delta {|f(t)|\over t}dt \text{~и~} \int_{0}^\pi {|f(t)|\over 2\sin (t/2)}dt.$$
Если вас интересует только идея доказательства, вы можете принять эту лемму на веру - типа, в окрестности нуля $t$ и $2\sin(t/2)$ ведут себя похоже.

После чего признак Дини доказывался буквально в две строчки, используя свойства ядер Дирихле. ИМХО проще некуда. В Фихтенгольце что-то сильно другое пишут?

 Профиль  
                  
 
 Re: Сходимость ряда Fourier
Сообщение01.06.2009, 15:50 


20/04/09
1067
AD в сообщении #218797 писал(а):
Функция $$f(x)=\sum_{n=1}^\infty\frac{\sin nx}{n\ln n}$$ по моим данным абсолютно непрерывна на всем отрезке и $C^2$

абсолютная непрерывность, видимо, имеетместо (хотя надо посмотреть), а насчет гладкости это точно неверно, она даже не $C^1$

 Профиль  
                  
 
 Re: Сходимость ряда Fourier
Сообщение01.06.2009, 21:40 
Экс-модератор


17/06/06
5004
Еще раз: я уверен только в $C^2$шности на открытом интервале. Это следует из того, что это есть почленно проинтегрированный ряд с выпуклыми коэффициентами. А вообще тут коэффициенты $k$-выпуклы при всех $x$, и потому есть подозрение на аналитичность, но тут я не знаю всех доказательств. $AC$шность на всем отрезке следует из этого же, только здесь, к тому же, существенно, что мы интегрировали ряд по косинусам.

А что она не $C^1$ на концах - я на это и не рассчитывал, интересуюсь, есть ли просто производная хотя бы?

 Профиль  
                  
 
 Re: Сходимость ряда Fourier
Сообщение01.06.2009, 22:32 


20/04/09
1067
AD в сообщении #219037 писал(а):
Еще раз: я уверен только в $C^2$шности на открытом интервале. Это следует из того, что это есть почленно проинтегрированный ряд с выпуклыми коэффициентами. А вообще тут коэффициенты $k$-выпуклы при всех $x$, и потому есть подозрение на аналитичность, но тут я не знаю всех доказательств. $AC$шность на всем отрезке следует из этого же, только здесь, к тому же, существенно, что мы интегрировали ряд по косинусам.

А что она не $C^1$ на концах - я на это и не рассчитывал, интересуюсь, есть ли просто производная хотя бы?

понял, я как-то пропустил про открытый интервал, а что это за теоремы про выпуклость коэффициентов Фурье?

 Профиль  
                  
 
 Re: Сходимость ряда Fourier
Сообщение02.06.2009, 08:06 
Экс-модератор


17/06/06
5004
Ну есть две солидные теории про ряды Фурье тригонометрические ряды некоторого специального класса. Одна - теория лакунарных рядов (то есть в которых номера ненулевых коэффициентов растут не медленнее геометрической прогрессии), другая - теория рядов с монотонными коэффициентами [то есть монотонно стремящимися к нулю сверху] (или, в более общем случае, с $k$-выпуклыми коэффициентами, $k=1$ - монотонность, $k=2$ - выпуклость).

Из первой, в частности, происходит один из классических примеров непрерывной нигде не дифференцируемой функции:
$$f(x)=\sum_{k=1}^\infty\frac1{2^k}\cos(8^kx)$$
В этой теории все ряды получаются "однородно-плохими" на всем отрезке.

А в теории рядов с монотонными коэффициентами всё наоборот: они получаются очень хорошими на интервале, но отвратительными на концах отрезка. Из этой теории происходит, в частности, классический пример всюду сходящегося тригонометрического ряда, не являющегося рядом Фурье:
$$f(x)=\sum_{k=1}^\infty\frac{\sin nx}{\ln n}$$
Этот ряд всюду сходится, но после почленного интегрирования начинает расходиться в нуле(!!).
(Ах да, самое главное-то не сказал, они хороши на интервале $(0,2\pi)$, а не на $(-\pi,\pi)$).
А если такой же ряд (или вообще ряд с выпуклыми коэффициентами по косинусам) записать по косинусам, то всегда будет получаться функция из $L_1$, так что здесь синусы и косинусы не равноправны (ну сопряженные функции не всегда столь же хороши, как и сами функции). Однако, говорят, он не будет сходиться по норме $L_1$.

В Зигмунде в первом томе что-то есть, но, вроде бы, не очень много.
В Бари побольше.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сходимость ряда Fourier
Сообщение02.06.2009, 09:41 


20/04/09
1067
да, понятно, это уже какая-то очень специальная наука

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 15 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group