Сходимость ряда Fourier

[Alhimik]

Приветствую всех, читающих это сообщение! А теперь ближе к делу. Кто-нибудь знает как быстро и максимально понятно доказать сходимость ряда Фурье?
$ f ( t ) = \frac {a_0} 2 + \sum \limits_{n=1}^{\infty} a_n \cos n \omega t + b_n \sin n \omega t $

Хотят слухи, что толковое доказательство написано в Фихтенгольце. На сколько достоверны эти слухи?

[AD]

Странные у Вас вопросики. Научиться по ряду Фурье понимать, сойдется он или нет - бесконечно сложная задача, целая наука то есть. Много-много букав написано на эту тему. Далеко не все ряды фурье сходятся.

Если подкинете конкретный ряд - подумаем.

[Brukvalub]

Если ряд из модулей коэффициентов сходится, то ряд Фурье точно сходится.

[terminator-II]

Brukvalub в сообщении #218703 писал(а):

Если ряд из модулей коэффициентов сходится, то ряд Фурье точно сходится.

простая задача, может кому интересно: описать в терминах пространств Соболева множество функций у которых ряд Фурье сходится по указанным выше причинам

[Alhimik]

Brukvalub в сообщении #218703 писал(а):

Если ряд из модулей коэффициентов сходится, то ряд Фурье точно сходится.

От куда это следует? Кстати говоря, я забыл уточнить. Речь идёт о самом самом классическом варианте. Функция f(t) - непрерывна и диференцирована пусть даже на всей числовой оси, и её то мы и разварачивает в ряд Фурье на некотором отрезке [a;b] .

И давайте пока не трогать Соболева. Я вообще не знаю кто это такой. Хочу посмотреть на максимально упрощенное доказательство сходимости.

[AD]

Alhimik в сообщении #218721 писал(а):

От куда это следует?

This is called "Признак Вейерштрасса равномерной сходимости функциональных рядов".

-- Вс май 31, 2009 22:49:00 --

Alhimik в сообщении #218721 писал(а):

Речь идёт о самом самлм классическом варианте. Функция f(t) - непрерывна и диференцирована пусть даже на всей числовой оси, и её то мы и разварачивает в ряд Фурье на некотором отрезке [a;b] .

А непрерывность производной предполагаем?
Хотя и без нее признак Дини легко справляется. Ну или признак Дирихле--Жордана, но это уже посложнее.
Но совсем прямого доказательства не знаю, вот заодно и узнаю сейчас ...

-- Вс май 31, 2009 22:57:39 --

Глянул в Фихтенгольца, но ничего подозрительного не нашел. Юзайте признак Дини наверное.

[Alhimik]

Раскручивая эту тему по признаку Weierstrass 'а , я рассуждаю следующим образом: без лишних коментарий понятно, что $\left | a_n cos ( n \omega t ) \right | \leqslant a_n$ .
Т.е. необходимо доказать сходимость $ \sum\limits_{i=1}^{\infty} a_n $
Как известно
$a_n = \frac 2 T \int\limits_0^T f ( t ) cos (n \omega t) dt $
Как доказать сходимость этого "огрызочного " ряда из только одного коэффициета
$\sum\limits_{n=1}^{\infty} \int\limits_0^T f ( t ) cos (n \omega t) dt $ ?

[CowboyHugges]

Alhimik, так Вы же хотели посмотреть Фихтенгольца, там так раз это всё есть. Для дифференцируемой $f(x)$ там это выводится из признака Липшица

[AD]

Цитата:

Т.е. необходимо доказать сходимость $\sum\limits_{i=1}^\infty a_n$

Не "необходимо", а "достаточно". И не "сходимость", а "абсолютную сходимость". И не $a_n$, а $a_i$.

И я, кстати, не уверен, что она всегда будет даже в случае $C^1$. А в случае просто дифференцируемых функций, скорее всего, вообще кошмарные коэффициенты могут быть (даже к нулю вроде стремиться не обязаны).

Я не уверен ни в чем, что только что сказал в последнем абзаце. Может, кто-нибудь этот вопрос мне прояснит? Еще подумаю над идеей terminator-II.

-- Пн июн 01, 2009 09:33:51 --

Функция

$$f(x)=\sum_{n=1}^\infty\frac{\sin nx}{n\ln n}$$

по моим данным абсолютно непрерывна на всем отрезке и $C^2$ (и, наверное, даже аналитична) внутри интервала. Как она себя ведет в концевых точках? Есть ли там производная?

Это я к тому, что у нее, такой хорошей, ряд из коэффициентов расходится.

[Бодигрим]

Alhimik в сообщении #218721 писал(а):

Кстати говоря, я забыл уточнить. Речь идёт о самом самом классическом варианте. Функция f(t) - непрерывна и диференцирована пусть даже на всей числовой оси, и её то мы и разварачивает в ряд Фурье на некотором отрезке [a;b] .

Посмотрел в свои конспекты по матану. Мы признак сходимости ряда Фурье в точке (признак Дини) доказывали исходя из следующей леммы: если функция $f$ абсолютно интегрируема на $[0,\pi]$ и $2\pi$-периодична, то при любом $\delta\in(0,\pi]$ следующие интегралы сходятся или расходятся одновременно:

$$ \int_{0}^\delta {|f(t)|\over t}dt \text{~и~} \int_{0}^\pi {|f(t)|\over 2\sin (t/2)}dt.$$

Если вас интересует только идея доказательства, вы можете принять эту лемму на веру - типа, в окрестности нуля $t$ и $2\sin(t/2)$ ведут себя похоже.

После чего признак Дини доказывался буквально в две строчки, используя свойства ядер Дирихле. ИМХО проще некуда. В Фихтенгольце что-то сильно другое пишут?

[terminator-II]

AD в сообщении #218797 писал(а):

Функция

$$f(x)=\sum_{n=1}^\infty\frac{\sin nx}{n\ln n}$$

по моим данным абсолютно непрерывна на всем отрезке и $C^2$

абсолютная непрерывность, видимо, имеетместо (хотя надо посмотреть), а насчет гладкости это точно неверно, она даже не $C^1$

[AD]

Еще раз: я уверен только в $C^2$шности на открытом интервале. Это следует из того, что это есть почленно проинтегрированный ряд с выпуклыми коэффициентами. А вообще тут коэффициенты $k$-выпуклы при всех $x$, и потому есть подозрение на аналитичность, но тут я не знаю всех доказательств. $AC$шность на всем отрезке следует из этого же, только здесь, к тому же, существенно, что мы интегрировали ряд по косинусам.

А что она не $C^1$ на концах - я на это и не рассчитывал, интересуюсь, есть ли просто производная хотя бы?

[terminator-II]

AD в сообщении #219037 писал(а):

Еще раз: я уверен только в $C^2$шности на открытом интервале. Это следует из того, что это есть почленно проинтегрированный ряд с выпуклыми коэффициентами. А вообще тут коэффициенты $k$-выпуклы при всех $x$, и потому есть подозрение на аналитичность, но тут я не знаю всех доказательств. $AC$шность на всем отрезке следует из этого же, только здесь, к тому же, существенно, что мы интегрировали ряд по косинусам.

А что она не $C^1$ на концах - я на это и не рассчитывал, интересуюсь, есть ли просто производная хотя бы?

понял, я как-то пропустил про открытый интервал, а что это за теоремы про выпуклость коэффициентов Фурье?

[AD]

Ну есть две солидные теории про ряды Фурье тригонометрические ряды некоторого специального класса. Одна - теория лакунарных рядов (то есть в которых номера ненулевых коэффициентов растут не медленнее геометрической прогрессии), другая - теория рядов с монотонными коэффициентами [то есть монотонно стремящимися к нулю сверху] (или, в более общем случае, с $k$-выпуклыми коэффициентами, $k=1$ - монотонность, $k=2$ - выпуклость).

Из первой, в частности, происходит один из классических примеров непрерывной нигде не дифференцируемой функции:

$$f(x)=\sum_{k=1}^\infty\frac1{2^k}\cos(8^kx)$$

В этой теории все ряды получаются "однородно-плохими" на всем отрезке.

А в теории рядов с монотонными коэффициентами всё наоборот: они получаются очень хорошими на интервале, но отвратительными на концах отрезка. Из этой теории происходит, в частности, классический пример всюду сходящегося тригонометрического ряда, не являющегося рядом Фурье:

$$f(x)=\sum_{k=1}^\infty\frac{\sin nx}{\ln n}$$

Этот ряд всюду сходится, но после почленного интегрирования начинает расходиться в нуле(!!).
(Ах да, самое главное-то не сказал, они хороши на интервале $(0,2\pi)$, а не на $(-\pi,\pi)$).
А если такой же ряд (или вообще ряд с выпуклыми коэффициентами по косинусам) записать по косинусам, то всегда будет получаться функция из $L_1$, так что здесь синусы и косинусы не равноправны (ну сопряженные функции не всегда столь же хороши, как и сами функции). Однако, говорят, он не будет сходиться по норме $L_1$.

В Зигмунде в первом томе что-то есть, но, вроде бы, не очень много.
В Бари побольше.

[terminator-II]

да, понятно, это уже какая-то очень специальная наука