Так.
Множество называется транзитивным, если оно содержит элементы своих элементов:

Например, множества

и

транзитивны, а

- нет.
Соответственно, множество называется наследственно транзитивным, если это транзитивное множество, все элементы которого транзитивны:

В теории

есть аксиома фундирования, которая утверждает, что любое множество содержит элемент, не пересекающийся с этим множеством. С ее помощью можно доказать, что любое наследственно транзитивное множество вполне упорядочено относительно

. В принципе, эта аксиома вспомогательная, и теорию множеств (в том числе ординалы) можно построить без нее, но все будет технически сложнее, а определение ординала изменится.
Еще можно доказать, что для любых двух ординалов либо

, либо

, либо

. А еще отношения

и

на ординалах совпадают. Соответственно, в смысле этого отношения и понимается минимальность.
Вообще, для определения натуральных чисел это несколько избыточно. Можно просто взять множество

такое, что

и

(его существование утверждается в аксиоме бесконечности) и объявить его элементы натуральными числами:



и т.д.