определение натурального числа

[nckg]

Вот такой наивный вопрос - можно ли определить понятие натурального числа с помощью понятия множества? (или и то и другое - независимые неопределимые понятия?)

[Xaositect]

Можно.
Натуральное число - это конечный кардинал.

[nckg]

хорошо, а как тогда определить кардинал не используя понятие натурального числа?

[Xaositect]

Ординал - это наследственно транзитивное множество.
Кардинал - это минимальный из множества равномощных ординалов.

[nckg]

а можно заодно пример нетранзитивного множества?
И в каком смысле понимается "минимальность" ординала?

[Xaositect]

Так.
Множество называется транзитивным, если оно содержит элементы своих элементов:
$Trans(z)\equiv (\forall x \forall y)(x\in y\& y\in z\to x\in z)$
Например, множества $\varnothing$ и $\{\varnothing\}$ транзитивны, а $\{\{\varnothing\}\}$ - нет.
Соответственно, множество называется наследственно транзитивным, если это транзитивное множество, все элементы которого транзитивны:
$On(z)\equiv Trans(z)\& (\forall x)(x\in z \to Trans(x))$
В теории $\mathbf{ZFC}$ есть аксиома фундирования, которая утверждает, что любое множество содержит элемент, не пересекающийся с этим множеством. С ее помощью можно доказать, что любое наследственно транзитивное множество вполне упорядочено относительно $\in$. В принципе, эта аксиома вспомогательная, и теорию множеств (в том числе ординалы) можно построить без нее, но все будет технически сложнее, а определение ординала изменится.
Еще можно доказать, что для любых двух ординалов либо $\alpha\in \beta$, либо $\beta\in\alpha$, либо $\alpha=\beta$. А еще отношения $\in$ и $\subset$ на ординалах совпадают. Соответственно, в смысле этого отношения и понимается минимальность.

Вообще, для определения натуральных чисел это несколько избыточно. Можно просто взять множество $\omega$ такое, что $\varnothing\in\omega$ и $x\in\omega\to x\cup\{x\}\in\omega$ (его существование утверждается в аксиоме бесконечности) и объявить его элементы натуральными числами:
$0 = \varnothing$
$1 = 0\cup\{0\} = \{\varnothing\}$
$2 = 1\cup\{1\} = \{\varnothing,\{\varnothing\}\}$
и т.д.

[nckg]

Допустим мы определили натуральные числа как элементы множества $\omega$. Но как тогда определить для них операцию сложения? объединение не подходит т.к.
$2+2\neq\{\emptyset,\{\emptyset\}\}\cup\{\emptyset,\{\emptyset\}\}=\{\emptyset,\{\emptyset\}\}$

P.S. Спасибо за подробные определения.

P.P.S. Когда я видел это определение на википедии, оно мне показалось не особо осмысленным, но сейчас уже мне кажется что что-то в нём есть.

[AD]

Ну здесь уже всё достаточно банально - прежде всего, определяем, что такое $n+1$. А именно, $n+1=n\cup\{n\}$. А потом по индукции: $n+(m+1)=(n+m)+1$.

[nckg]

ок, AD, с Вашим определением я согласен.

Xaositect в сообщении #218381 писал(а):

Еще можно доказать, что для любых двух ординалов либо $\alpha\in \beta$, либо $\beta\in\alpha$, либо $\alpha=\beta$. А еще отношения $\in$ и $\subset$ на ординалах совпадают. Соответственно, в смысле этого отношения и понимается минимальность.

То есть могут быть два (разных) равномощных ординала, для которых $\alpha\subset\beta$? (желателен пример)

[Xaositect]

$\omega$ и $\omega + 1$
Вообще, существует несчетное множество счетных ординалов.

[nckg]

Согласен, спасибо!

[Утундрий]

Натуральное число - это число, не являющееся ненатуральным

[AD]

Ё-моё, ну чего тут все обсуждают?
Еще ведь в первом классе учили: натуральные числа - это числа, используемые для счета предметов.

А они тут развели науку понимаешь ...
Интеллигенты ...

[AGu]

Xaositect в сообщении #218381 писал(а):

Можно просто взять множество $\omega$ такое, что $\varnothing\in\omega$ и $x\in\omega\to x\cup\{x\}\in\omega$ (его существование утверждается в аксиоме бесконечности) и объявить его элементы натуральными числами

Поправочка: не "взять множество $\omega$ ...", а "взять наименьшее множество $\omega$...". (Ну а существование наименьшего из таких омег обеспечивается принципом выделения, вытекающим из схемы аксиом подстановки.)