Интеграл Пуассона

[Vidoc]

$\[\Delta u = 0\]$ (в круге)
$\[\mathop {\left. u \right|}\nolimits_{r = 1} = \delta (\varphi)\]$

$\[u(r,\varphi ) = \int\limits_{ - \pi }^\pi {\frac{{1 - \rho ^2 }}{{\rho ^2 - 2\rho \cos (\varphi - \psi ) + 1}}\delta (\psi )d} \psi = ?\]$

[CowboyHugges]

Любопытно, а это вообще смысл имеет? Здесь где-то недавно это уже лбсуждалось

[Vidoc]

Рассматривается задача о минимизации области положительности решения вышеуказанной задачи с чётным тригонометрическим полиномом на границе. Предварительные вычисления показывают, что полином стремится в дельта функции.

[CowboyHugges]

Vidoc, слабо стремится, я полагаю? Вот тут ,не очень приятно, обсуждался похожий вопрос http://dxdy.ru/topic22934.html

[Полосин]

Исправьте условие: во второй строке странный аргумент у дельта-функции.
$ u(r,\varphi)=A_0/2+\sum\limits_{n=1}^{+\infty}r^n(A_n\cos(n\varphi)+B_n\sin(n\varphi)), $
$ u(1,\varphi)=A_0/2+\sum\limits_{n=1}^{+\infty}(A_n\cos(n\varphi)+B_n\sin(n\varphi))=\delta(\varphi), $
$ A_n=2, B_n=0, u(r,\varphi)=1+2\sum\limits_{n=1}^{+\infty}r^n\cos(n\varphi)=\frac{1-r^2}{1-2r\cos\varphi+r^2}. $

[Vidoc]

Всем спасибо, разобрался.

[antbez]

А почему тема называется "интеграл Пуассона", а не "уравнение Пуассона"?

[ewert]

Потому, что, в принципе, интеграл именно так называется. (Да, а уравнение, кстати, называется не столько Пуассоном, сколько Лапласом.)

[antbez]

Да, я- невнимателен. У нас же однородное уравнение- Лапласа!