Неприменима локальная теорема Лапласа

[shalabas]

Есть тривиальная задача - найти вероятность, что в N испытаниях событие наступит ровно M раз. Проблема в том, что N велико, но не очень, а p=0,99, и получается, что $Npq=1,584 $, т.е. локальная теорема Лапласа вроде как неприменима. Распределение Пуассона также неприменимо ввиду того, что p велико. Конечно, в "Калькуляторе" Windows можно посчитать по формуле Бернулли, но вот понравится ли это преподавателю?
К слову, получены результаты:
по формуле Бернулли $P(94)=3,1*10^{-87}$
по теореме Лапласа $P(94)=8,9*10^{-570}$
по распр-ю Пуассона $P(94)=7,0*10^{-9}$
Может, как-то можно исхитриться, чтобы сделать применимой какую-либо из 2-х последних формул?

[Утундрий]

Может взять среднее геометрическое от $570$ и $9$? Шутка)

[shalabas]

Единственное, что приходит на ум, это найти по теореме Лапласа вероятность для заданных N и M, взяв $p=q=0,5$, а затем результат разделить на $0,5^N$ и умножить на $p^Mq^{N-M}$, что тоже громоздско.

[Cute]

Перейдите к противоположному событию и вычислите вероятность с помощью приближённой формулы Пуассона!

[shalabas]

О каком противоположном событии речь? Событие произойдет не M раз? Что за приближенная формула Пуассона? Поясните, что Вы имеете в виду.

[Cute]

shalabas в сообщении #218366 писал(а):

О каком противоположном событии речь? Событие произойдет не M раз? Что за приближенная формула Пуассона? Поясните, что Вы имеете в виду.

Пусть проводится последовательность $N = 160$
испытаний по схеме Бернулли, в каждом из которых успех (некоторое событие $A$) может произойти с вероятностью $p = 0,99$. В задаче требуется найти вероятность того, что в этих $N = 160$ испытаниях успех (событие $A$) появится ровно $M = 94$ раз.

Событие, вероятность которого требуется найти в задаче равносильно событию, состоящему в том, что в данных $N=160$ испытаниях неудача (событие, противоположное событию $A$) появится ровно $K = N - M = 160 - 94 = 66$ раз. Эту вероятность можно вычислить по приближённой формуле Пуассона:
$\[P_N \left( K \right) \approx \frac{{\lambda ^K \cdot e^{ - \lambda } }}{{K!}}\]$, где $\[\lambda = N \cdot p\]$.
В данном случае $p=0,01$ - вероятность неудачи в каждом испытании,
$\[\lambda = N \cdot p = 160 \cdot 0,01 = 1,6\]$
Хотя и формула Пуассона даёт здесь значительную погрешность.

[ewert]

shalabas в сообщении #218327 писал(а):

Есть тривиальная задача - найти вероятность, что в N испытаниях событие наступит ровно M раз. Проблема в том, что N велико, но не очень, а p=0,99, и получается, что $Npq=1,584 $,

ну так и напрашивается приближение Пуассона применительно к обратному событию

[--mS--]

Кстати, по теореме Пуассона ответ $1,1\cdot 10^{-80}$, что очень близко к точному ответу. Если, конечно, вычитать один из другого, а не делить

[Cute]

--mS-- в сообщении #218405 писал(а):

Кстати, по теореме Пуассона ответ $1,1\cdot 10^{-80}$, что очень близко к точному ответу. Если, конечно, вычитать один из другого, а не делить

Формула Пуассона по приведенным мною ранее расчётам даёт относительную погрешность $\[100\% \]$. Многовато!

[--mS--]

Cute в сообщении #218409 писал(а):

--mS-- в сообщении #218405 писал(а):

Кстати, по теореме Пуассона ответ $1,1\cdot 10^{-80}$, что очень близко к точному ответу. Если, конечно, вычитать один из другого, а не делить

Формула Пуассона по приведенным мною ранее расчётам даёт относительную погрешность $\[100\% \]$. Многовато!

Вообще-то оценка для абсолютной погрешности в формуле Пуассона даёт здесь самое меньшее $0,01$. Так что формула Пуассона сделала всё, что могла, и даже в 78 раз больше, чем могла. Она не виновата, что столь малую вероятность вычислять пришлось. А относительную погрешность тут вряд ли имеет смысл рассматривать: заменяя одну вероятность другой, обычно интересуются, на сколько ошиблись, а не во сколько раз.

[shalabas]

Спасибо всем, что-то я затупил, извиняюсь.