Даны две действительнозначные функции двух переменных, нужно проверить их на дифференцируемость в начале координат
1.
![$ f = \frac{\sqrt{1 + xy} - e^{\frac{xy}{2}}}{(x^{2} + y^{2})^{\frac{3}{2}}} $ $ f = \frac{\sqrt{1 + xy} - e^{\frac{xy}{2}}}{(x^{2} + y^{2})^{\frac{3}{2}}} $](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/9/0/a905405698e7e2e63e5028596fa02f6082.png)
2.
![$ f = \frac{xe^{y} - ye^{x} + y - x + \frac{xy}{2}(x - y)}{(x^{2} + y^{2})^{\frac{3}{2}}} $ $ f = \frac{xe^{y} - ye^{x} + y - x + \frac{xy}{2}(x - y)}{(x^{2} + y^{2})^{\frac{3}{2}}} $](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/f/5/7f5a431b208e221ae71249c03ab0d14b82.png)
в начале обе функции доопределены нулем.
Мой план действий:
1) по определению найти частные производные в нуле для обеих функций. Они оказываются равны нулю в обоих случаях. Тогда дифференцируемость равносильна тому, что
![$ f(x,y) - f(0,0) = o((x^{2} + y^{2})^{\frac{1}{2}}) $ $ f(x,y) - f(0,0) = o((x^{2} + y^{2})^{\frac{1}{2}}) $](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/a/e/3ae2758c8cfccc97be4248a66ccbbcb282.png)
2) То есть, надо выяснить, справедливо ли, что
![$\lim\limits_{(x,y) \to (0,0)} \frac{\sqrt{1 + xy} - e^{\frac{xy}{2}}}{(x^{2} + y^{2})^{2}} = 0$ $\lim\limits_{(x,y) \to (0,0)} \frac{\sqrt{1 + xy} - e^{\frac{xy}{2}}}{(x^{2} + y^{2})^{2}} = 0$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/3/1/6318dccf490a452663f6de7ad876b88482.png)
![$\lim\limits_{(x,y) \to (0,0)} \frac{xe^{y} - ye^{x} + y - x + \frac{xy}{2}(x - y)}{(x^{2} + y^{2})^{2}} = 0$ $\lim\limits_{(x,y) \to (0,0)} \frac{xe^{y} - ye^{x} + y - x + \frac{xy}{2}(x - y)}{(x^{2} + y^{2})^{2}} = 0$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/8/e/c8e28d66197136f58cd8a4976344141182.png)
3) Теперь об их вычислении. В первом случае я применяю разложение с помощью одномерной формулы Тейлора (кстати, это вообще можно делать?):
![$ \sqrt{1 + xy} - e^{\frac{xy}{2}} = \frac{1 + xy - e^{xy}}{\sqrt{1 + xy} + e^{\frac{xy}{2}}} = \frac{x^{2}y^{2}(1 + o(1))}{8(1 + o(1))} $ $ \sqrt{1 + xy} - e^{\frac{xy}{2}} = \frac{1 + xy - e^{xy}}{\sqrt{1 + xy} + e^{\frac{xy}{2}}} = \frac{x^{2}y^{2}(1 + o(1))}{8(1 + o(1))} $](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/e/6/fe6793f38c86415e72ad3c098b82052682.png)
После чего делаю замену:
![$ x = r\cos{\phi};
y = r\sin{\phi} $ $ x = r\cos{\phi};
y = r\sin{\phi} $](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/8/e/58ef9a6a5ad2146db256613f4b35942482.png)
и говорю, что стремление точки к началу координат равносильно стремлению к нулю числа r, то есть перехожу к пределу
![$ \lim\limits_{r \to 0} \frac{r^{4}(\sin{\phi}\cos{\phi})^{2}}{r^{4}} $ $ \lim\limits_{r \to 0} \frac{r^{4}(\sin{\phi}\cos{\phi})^{2}}{r^{4}} $](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/3/4/434250b2ab1ec04edac06b161706147082.png)
, который по различным путям различен, то есть не существует. Значит, функция недифференцируема, думаю я.
Во втором случае раскладываю по тейлору экспоненты до второй степени. привожу подобные, получаю предел
![$ \lim\limits_{(x,y) \to (0,0)} \frac{(xy^{2} - x^{2}y)(1 + o(1))}{(x^{2} + y^{2})^{2}} = \lim\limits_{r \to 0} \frac{r^{3}(\sin{\phi}\cos{\phi})(\sin{\phi} - \cos{\phi})}{r^{4}}$ $ \lim\limits_{(x,y) \to (0,0)} \frac{(xy^{2} - x^{2}y)(1 + o(1))}{(x^{2} + y^{2})^{2}} = \lim\limits_{r \to 0} \frac{r^{3}(\sin{\phi}\cos{\phi})(\sin{\phi} - \cos{\phi})}{r^{4}}$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/5/1/d513c9d7cd4f429ea6892fe417ba102b82.png)
, который, кажется, тоже не существует. Откуда делаю вывод - функции в нуле недифференцируемы.
Буду благодарен, если скажете, где ошибки