Дифференцируемость функций двух переменных

[smile]

Даны две действительнозначные функции двух переменных, нужно проверить их на дифференцируемость в начале координат
1. $ f = \frac{\sqrt{1 + xy} - e^{\frac{xy}{2}}}{(x^{2} + y^{2})^{\frac{3}{2}}} $
2. $ f = \frac{xe^{y} - ye^{x} + y - x + \frac{xy}{2}(x - y)}{(x^{2} + y^{2})^{\frac{3}{2}}} $
в начале обе функции доопределены нулем.
Мой план действий:
1) по определению найти частные производные в нуле для обеих функций. Они оказываются равны нулю в обоих случаях. Тогда дифференцируемость равносильна тому, что $ f(x,y) - f(0,0) = o((x^{2} + y^{2})^{\frac{1}{2}}) $
2) То есть, надо выяснить, справедливо ли, что
$\lim\limits_{(x,y) \to (0,0)} \frac{\sqrt{1 + xy} - e^{\frac{xy}{2}}}{(x^{2} + y^{2})^{2}} = 0$
$\lim\limits_{(x,y) \to (0,0)} \frac{xe^{y} - ye^{x} + y - x + \frac{xy}{2}(x - y)}{(x^{2} + y^{2})^{2}} = 0$
3) Теперь об их вычислении. В первом случае я применяю разложение с помощью одномерной формулы Тейлора (кстати, это вообще можно делать?):
$ \sqrt{1 + xy} - e^{\frac{xy}{2}} = \frac{1 + xy - e^{xy}}{\sqrt{1 + xy} + e^{\frac{xy}{2}}} = \frac{x^{2}y^{2}(1 + o(1))}{8(1 + o(1))} $
После чего делаю замену:
$ x = r\cos{\phi}; y = r\sin{\phi} $
и говорю, что стремление точки к началу координат равносильно стремлению к нулю числа r, то есть перехожу к пределу $ \lim\limits_{r \to 0} \frac{r^{4}(\sin{\phi}\cos{\phi})^{2}}{r^{4}} $, который по различным путям различен, то есть не существует. Значит, функция недифференцируема, думаю я.
Во втором случае раскладываю по тейлору экспоненты до второй степени. привожу подобные, получаю предел
$ \lim\limits_{(x,y) \to (0,0)} \frac{(xy^{2} - x^{2}y)(1 + o(1))}{(x^{2} + y^{2})^{2}} = \lim\limits_{r \to 0} \frac{r^{3}(\sin{\phi}\cos{\phi})(\sin{\phi} - \cos{\phi})}{r^{4}}$, который, кажется, тоже не существует. Откуда делаю вывод - функции в нуле недифференцируемы.
Буду благодарен, если скажете, где ошибки

[Brukvalub]

smile в сообщении #218015 писал(а):

Во втором случае раскладываю по тейлору экспоненты до второй степени. привожу подобные, получаю предел
$ \lim\limits_{(x,y) \to (0,0)} \frac{(xy^{2} - x^{2}y)(1 + o(1))}{(x^{2} + y^{2})^{2}} = \lim\limits_{r \to 0} \frac{r^{3}(\sin{\phi}\cos{\phi})(\sin{\phi} - \cos{\phi})}{r^{4}}$

Не маловато ли Вы разложили экспонеты? У меня получилось, что члены третьей степени тоже взаимно уничтожаются.

[smile]

Разве?
$xe^{y} - ye^{x} + y - x = x(1 + y + \frac{y^{2}}{2} + \frac{y^{3}}{6} + o(y^{3})) - y(1 + x + \frac{x^{2}}{2} + \frac{x^{3}}{6} + o(x^{3})) + y - x = \frac{xy^{2}}{2} - \frac{x^{2}y}{2} + \frac{xy^{3}}{6} - \frac{x^{3}y}{6} + o(xy^{3}) + o(x^{3}y)$
Или Вы использовали разложение для ФНП?
Да и пусть уничтожаются, но члены-то второй степени никуда не денутся от этого, а все степенью выше уберется под о малое

[Brukvalub]

smile в сообщении #218042 писал(а):

$xe^{y} - ye^{x} + y - x = x(1 + y + \frac{y^{2}}{2} + \frac{y^{3}}{6} + o(y^{3})) - y(1 + x + \frac{x^{2}}{2} + \frac{x^{3}}{6} + o(x^{3})) + y - x = \frac{xy^{2}}{2} - \frac{x^{2}y}{2} + \frac{xy^{3}}{6} - \frac{x^{3}y}{6} + o(xy^{3}) + o(x^{3}y)$

Мне кажется, что Вы потеряли кусок числителя - его последнее слагаемое.

[smile]

да, потерял, просто там ничего достаточно высокой степени не имеется, а то, что суммарно третьей, не сокращается - знаки-то совпадают

[Brukvalub]

smile в сообщении #218061 писал(а):

да, потерял, просто там ничего достаточно высокой степени не имеется, а то, что суммарно третьей, не сокращается - знаки-то совпадают

А, вдруг, не совпадают? Вы глаза-то не зажмуривайте, формула совсем нестрашная

[smile]

Да, проморгал, спасибо. Только такой вопрос - применение обычной формулы Тейлора вообще возможно, особенно интересует первая фукнция

[Brukvalub]

smile в сообщении #218068 писал(а):

Только такой вопрос - применение обычной формулы Тейлора вообще возможно, особенно интересует первая фукнция

У Вас даже первая - не "фукнция", а функция. Применение ф-лы Тейлора здесь законно, поскольку Вы можете считать ху новой переменной. Суть задачи Вы поняли верно и ход решения у Вас правильный.

[smile]

Благодарю