Геодезические на эллипсоиде

[stopa85]

Дан эллипсоид с центром в начале координат O, и три точки на его поверхности А,B,C.

Сечением эллипсоида плоскостью AOB образуем кривую (эллипс?), назовем его Е, причем кратчайшая "дуга" от A к B есть кратчайший путь от A к B по поверхности эллипсоида (Я прав ?), назовем его AB.

Требуется найти кратчайший путь от С к эллипсу Е. Для этого достаточно построить плоскость перпендикулярную AOB и содержащую С и О (она единственна). Пересечение эллипсоида и двух плоскостей дадут точку D (на самом деле их две:).

Кратчайший путь от АD - есть искомый путь от С до эллипса E.

P.S. Ни одной формулы не помню (6 лет назад геометрию сдавал). Поэтому не пинайте ногами, просто, пожалуйста, проверте рассуждения. Найду учебник все сам посчитаю и запрограммирую:)

[Brukvalub]

Я не уверен, что всякое сечение эллипсоида плоскостью, проходящей через его центр, задает на эллипсоиде геодезическую. Обычно для поиска геодезических на поверхности решают дифференциальные уравнения, и лишь в редких простых случаях (типа сферы) удается обойтись сечениями.

[AKM]

Yu_K в сообщении #184531 писал(а):

Громозкая задача и сложновато ее решать аналитически - можно взять сферу и на ней соединить две точки начальную и конечную (с соответствующими сферическими координатами) дугой большого круга - а затем сделать сжатие до нужного эллипсоида - деформированная дуга большого круга по идее и даст кратчайшую линию. Так это или нет? В принципе можно проверить.

По-моему, в процитированной теме вопрос так и остался непроверенным.
Участник Brukvalub выше высказал свои сомнения.
Я их разделяю. Трудно поверить, что так построенный путь вдруг окажется кратчайшим: для каждого элемента дуги $ds$ окружности будет свой личный коэффициент сжатия, а вовсе не тот, глобальный, по которому диаметры сферы будут сжиматься в оси эллипсоида.

[ewert]

Brukvalub в сообщении #217985 писал(а):

Я не уверен, что всякое сечение эллипсоида плоскостью, проходящей через его центр, задает на эллипсоиде геодезическую.

Можно быть уверенным, что это не так. Возьмём для примера очень вытянутый эллипс (с двумя одинаковыми маленькими полуосями и одной большой) и рассечём плоскостью, проходящей через малую полуось, но под некоторым углом к большой. Для точек на получившемся эллипсе сам этот эллипс геодезической, очевидно, не будет: например, для точек, близких к центру, геодезической будет что-то вроде перпендикулярного сечения (поскольку вблизи центра эллипсоид близок к цилиндру).

[stopa85]

Brukvalub в сообщении #217985 писал(а):

Я не уверен, что всякое сечение эллипсоида плоскостью, проходящей через его центр, задает на эллипсоиде геодезическую.

Да, действительно, вы правы.


С диффурами буду разбираться очень долго ... задам другой вопрос:

Проблема в том, что таких троик точек у меня будет очень много (порядка 100000-150000). А надо, что бы все вычислялось, ну максимум минут 5 на "средней" тачке.

Я думаю, что если не получиться получить аналитическую формулу (подставил значение и посчитал), то и париться не стоит - пусть в ГИС системе проэкцию делают (для каждого частного случая свою) и будем все считать на плоскости (погрешность, вроде, позволяет).

[Brukvalub]

stopa85 в сообщении #217994 писал(а):

Я думаю, что если не получиться получить аналитическую формулу (подставил значение и посчитал), то и париться не стоит - пусть в ГИС системе проэкцию делают (для каждого частного случая свою) и будем все считать на плоскости (погрешность, вроде, позволяет).

Похоже, Вы решаете некую задачу Земной геодезии? Тогда лучше прибегнуть именно к тем хорошо известным методам, которые именно для таких задач давным-давно наработаны (см., например, http://www.geo-book.ru/vg002.htm ).

[мат-ламер]

Проблема нахождения геодезических на эллипсе обсуждалась в этом году на форуме. Но там была геодезическая между двух точек. А тут геодезическая между точкой и эллипсом сечения. Попробуйте выписать соответствуюшую вариационную задачу и применить к ней метод ломанных Эйлера, т.е. решать задачу в кусочно-линейном приближении. Тогда вариационная задача сведётся к конечномерной задаче оптимизации. Если нужна точность, то можно количество точек последовательно увеличивать в два раза.

[Brukvalub]

мат-ламер в сообщении #217998 писал(а):

А тут геодезическая между точкой и эллипсом сечения.

Это уже второй вопрос. А вот - первый:

stopa85 в сообщении #217971 писал(а):

Сечением эллипсоида плоскостью AOB образуем кривую (эллипс?), назовем его Е, причем кратчайшая "дуга" от A к B есть кратчайший путь от A к B по поверхности эллипсоида (Я прав ?)

[stopa85]

Brukvalub в сообщении #217996 писал(а):

Похоже, Вы решаете некую задачу Земной геодезии?

Ага, если интересно: http://gis-lab.info/forum/viewtopic.php ... t=0#p12805

Ну... теперь я название предмета знаю. Дальше будет легче:)