Асимптотическое равенство

[Nimza]

Доказать, что если функция $ \[ f(x) \] $ непрерывна на некотором промежутке $ \[ [0,\varepsilon ] \] $, $ \[ \varepsilon > 0 \] $ и $ \[ f(0) \ne 0 \] $, то при $ \[ \alpha < 1 \] $ верно асимптотическое равенство
$ \[ \int\limits_0^x {\frac{{f(t)}} {{t^\alpha }}dt} \sim \frac{{f(0)}} {{1 - \alpha }}x^{1 - \alpha } \] $ при $ \[ x \to 0 + 0 \] $.

Единственное, что удалось показать (хоть это и очевидно), так это эквивалентность производных этих функций в нуле справа. Что делать с самими функциями, совсем не понятно.

[Brukvalub]

А правило Лопиталя уже отменили?

[Nimza]

Большое спасибо!

[ewert]

Nimza в сообщении #217831 писал(а):

Что делать с самими функциями, совсем не понятно.

Не совсем понятно, что именно совсем непонятно. Что запрещает представить $f(t)=f(0)+\beta(t),$ где $\beta(t)\to0$ при $t\to0,$ разбить интеграл на два и оценить второй через $\delta(x)\equiv\max\limits_{t\in[0;x]}|\beta(t)|\to0$ при $x\to0,$ ?