
Только мне привычно обозначение

, где

- дисперсия, я его ниже и использую.
Вижу такой простой путь: свяжем с каждой величиной

не только саму

, но и независимую от всего остального бернуллевскую

. Тогда

.
Найдем функцию распределения суммы:

где событие

состоит в том, что

штук из "альф" обратились в ноль, а остальные

равны единице, и при этом сумма игреков меньше

. По формуле Бернулли получаем для


Здесь использован тот факт, что сумма независимых нормальных величин снова нормальна, и матожидания-дисперсии складываются. Можно функцию распределения нормального закона выразить через стандартную нормальную
Осталось слагаемое при

, когда все альфы нулевые:

Это скачок в нуле: при

функция распределения суммы равна
а при

добавляется ещё одно слагаемое

.
Интересующее нас распределение есть просто смешанное распределение: его функция распределения есть выпуклая линейная комбинация нормальных распределений (с весами = биномиальным вероятностям) и распределения, вырожденного в нуле.