Выражение 0^0

[man]

LetsGOX в сообщении #217074 писал(а):

ellipse Ага, значит вы тоже считаете преобразования* верными
Тогда я могу сказать вам несколько вещей:
1. Вы говорите, что не надо нарушать порядок $0^n=0$, но в данном случае речь может идти и о $n^0=1$, и тогда именно ноль нарушает непрервыный порядок
2. Если рассматривать функцию $x^x$ в точке ноль, то с помощью пределов уже доказали и подтвердили выше, что получится единичка
3. Сила преобразований* очевидна для $1^n=1$, так как это естественно, и действительно так В ЛЮБОМ ЗНАЧЕНИИ n, а вот $0^n=0$ неочевидно при n=0, и это никак не доказать, если не использовать равентсво $0^0=0$, которое доказуемо только само через себя, и как следствие, неправильно

P.S. Речь исключительно о действительным числах и значениязх

Т.к. Ваш ответ относится и к моей реплике, позволю себе ответить.
Для меня не очевидно, что $n^0=1$. Это просто постулат, проистекающий по, моему мнению, из теории множеств и закрепленный на уровне правила, но не имеющий под собой ничего, кроме веры в некоторые аксиомы.

[ddn]

Nxx писал(а):

А если поставить условие неравенства тождественно нулю?

Заданная некоторой окрестности точки $z=0$ и аналитическая в этой окрестности (значит, аналитическая и в точке $z=0$),
имеющая нуль в точке $z=0$, не равная тождественно нулю функция $h(z)$
разлагается в степенной ряд с натуральными степенями, вида:
$h(z)=\sum\limits_{n=n_0^{(h)}}^{+\infty}c_n^{(h)}\cdot z^n$,
где $n_0^{(h)}\in\mathbb{N}$ - натуральное (степень нуля функции в точке $z=0$),
$c_n^{(h)}$ - комплексные коэффициенты, притом $\tilde c_{(h)}\equiv c_{n_0^{(h)}}^{(h)}\not=0$.
То есть функция имеет вид $h(z)=\tilde c_{(h)}z^{n_0^{(h)}}+o(z^{n_0^{(h)}})$ в ассимптотике $z\to 0$.

Для функций $f(z)$ и $g(z)$ такого вида, предел $\lim\limits_{z\to 0}f(z)^{g(z)}$ в комплексной плоскости очевидно не существует, так как функция
$f(z)^{g(z)}=exp\left(\tilde c_{(g)}(\ln(\tilde c_{(f)})+n_0^{(f)}\ln(z)+2\pi i n_{vetv})z^{n_0^{(g)}}\cdot(1+o(1))\right)$ имеет ветвление в точке $z=0$.

Для функции $f(z)^{g(z)}$ определенной на комплексной плоскости с разрезом в виде прямого луча
(выходящего из точки $z=0$) предел $\lim\limits_{z\to 0}f(z)^{g(z)}$ существует и равен:
$\lim\limits_{z\to 0}e^{\tilde c_{(g)}n_0^{(f)}z^{n_0^{(g)}}\ln(z)}=exp(\tilde c_{(g)}n_0^{(f)}\lim\limits_{z\to 0}z^{n_0^{(g)}}\ln(z))=exp(0)=1$.
Все дело в тривиальном положительно-степенном поведении функций в окрестности нуля, аналитичность здесь излишня.

[Schraube]

man

Цитата:

Для меня не очевидно, что n^0=1.

Да, это доказывается

Цитата:

Это просто постулат, проистекающий по, моему мнению, из теории множеств и закрепленный на уровне правила, но не имеющий под собой ничего, кроме веры в некоторые аксиомы.

Нет, это доказывается.
Кстати, аксиомы не являются предметом веры или неверия.
Они НЕ"очевидны" и НЕ подлежат доказательству.
Просто аксиомы. "Правила игры"
Типа "конь ходит буквой ГЕ"

[Xaositect]

Schraube в сообщении #217091 писал(а):

Да, это доказывается

Смотря где.
Для целой степени элемента кольца это, насколько я помню, элемент определения.

[Schraube]

Цитата:

Смотря где.
Для целой степени элемента кольца это, насколько я помню, элемент определения.

Для групп доказывается.
В топике речь идет о мультипликативной группе кольца $R$
Необходимость постулирования возникает, имхо, для необратимых элементов кольца.

[Someone]

Nxx в сообщении #216890 писал(а):

Someone в сообщении #216856 писал(а):

Nxx в сообщении #216605 писал(а):

Это уже обсуждалось topic10670-180.html. Тогда $g(x)$ не будет аналитической (что было одним из условий). К тому же, было условие непрерывности обоих функций в точке 0 (как справа, так и слева). Если эти условия соблюдаются, то предел неизбежно равен единице.

Там же объяснялось, что для аналитических это тоже неверно.

Для случая приближения к началу координат по спирали.

Посмотрите определение предела функции по Коши, если Вы его забыли. Там ничего не сказано о том, каким способом "приближается" точка к началу координат (или к чему-либо ещё). Если частичный предел зависит от "способа приближения", то предел просто не существует.

Даже если говорить об однозначных ветвях функции $x^x$, предел при $x\to 0$ всё равно не обязан быть равен $1$. Разрежьте плоскость по той самой спирали, о которой говорил ewert, выделите однозначную ветвь (это возможно, поскольку в плоскости с таким спиральным разрезом нет замкнутых контуров, охватывающих $0$), и Вы для этой ветви получите предел, отличный от $1$.

[Nxx]

Цитата:

Посмотрите определение предела функции по Коши, если Вы его забыли. Там ничего не сказано о том, каким способом "приближается" точка к началу координат (или к чему-либо ещё). Если частичный предел зависит от "способа приближения", то предел просто не существует.

Если мы говорим о действительных функциях, то способов приближения только два - справа и слева.

Цитата:

Даже если говорить об однозначных ветвях функции $x^x$, предел при $x\to 0$ всё равно не обязан быть равен $1$. Разрежьте плоскость по той самой спирали, о которой говорил ewert, выделите однозначную ветвь (это возможно, поскольку в плоскости с таким спиральным разрезом нет замкнутых контуров, охватывающих $0$), и Вы для этой ветви получите предел, отличный от $1$.

В таком случае, скажите мне, ln(x) имеет предел в точке 1?

[LetsGOX]

man Напротив, спасибо вам за ответ. Я вероятно бы мог согласиться с тем, что $n^0=1$ при каких-то определенных естественных* предположених может быть неверно, но Вы почитайте пожалуйста, другие мои аргументации, в частности 3)

[Someone]

Nxx в сообщении #217127 писал(а):

Если мы говорим о действительных функциях, то способов приближения только два - справа и слева.

Если мы говорим о функции $x^x$ как о действительной функции, то у неё нет предела при $x\to 0^-$, так как она не определена при $x<0$.

Nxx в сообщении #217127 писал(а):

В таком случае, скажите мне, ln(x) имеет предел в точке 1?

Функция $\ln x$ (рассматриваемая как действительная функция) имеет предел при $x\to 1$.

[Nxx]

Nxx в сообщении #217127 писал(а):

В таком случае, скажите мне, ln(x) имеет предел в точке 1?

Функция $\ln x$ (рассматриваемая как действительная функция) имеет предел при $x\to 1$.[/quote]

А как комплексная?

[Лиля]

Всех 20 страничек, что здесь понаписали -не осилила... -прочитала последнюю
Хочу напомнить участникам беседы -что не корректно использовать пределы для выяснения -того чему равно $0^0$, поскольку для любого $w\in R$ можно указать такие $f,g$, $f(a)=g(a)=0$ где

$$\lim_{x\to a}f(x)^{g(x)}=w$$

[Brukvalub]

Лиля в сообщении #217240 писал(а):

Хочу напомнить участникам беседы -что не корректно использовать пределы для выяснения -того чему равно $0^0$, поскольку для любого $w\in R$ можно указать такие $f,g$, $f(a)=g(a)=0$ где

$$\lim_{x\to a}f(x)^{g(x)}=w$$

Абсурдное замечание, поскольку значение предела не зависит от значения функции в предельной точке.

[bot]

Бросьте придираться - пусть, добавим, $f$ и $g$ непрерывны в точке $a$. По сути Лиля права - всё зависит от контекста, в котором употребляется $0^0$.
Нет контекста - не о чем и разговаривать, даже если ограничиться рамками матана или даже его частью - теорией пределов.

[Nxx]

bot в сообщении #217266 писал(а):

Бросьте придираться - пусть, добавим, $f$ и $g$ непрерывны в точке $a$.

Приведите пример, когда f(x) и g(x) аналитичны и непрерывны в точке 0, f(0)=g(0)=0, не равны тождественно нулю и

$$\lim_{x\to0}f(x)^{g(x)}\ne1$$

.

[Лиля]

Nxx в сообщении #217278 писал(а):

Приведите пример, когда f(x) и g(x) аналитичны и непрерывны в точке 0, f(0)=g(0)=0, не равны тождественно нулю и

$$\lim_{x\to0}f(x)^{g(x)}\ne1$$

для аналичных функций доказанно Фердинандом Мобиусом 1834г. что таких нету -но эт всего лишь частный случай нераспространяющийся на все функции

-- Вт май 26, 2009 20:20:48 --

Brukvalub в сообщении #217259 писал(а):

Абсурдное замечание, поскольку значение предела не зависит от значения функции в предельной точке.

Непонимаю что же здесь обсурдного если вы своим замечаниеем:

Brukvalub в сообщении #217259 писал(а):

поскольку значение предела не зависит от значения функции в предельной точке.

ток подтвердили что не чего искать $0^0$ через пределы...