Квадратичная форма, привести к каноническому виду

[milkwacko]

Доброго времени суток.
Прошу помощи в решении задачи:

Дана квадратичная форма (пространство n-мерное):

$$h(x) = \sum_{i=1}^n (x_{i}-s)^2,\ \ \ \ s = \frac{x_1+\cdots+x_n}{n}$$

Необходимо привести к каноническому виду, найти канонический базис и связь координат.


Я упростил форму до

$$h(x) = \frac{n-1}{n}\sum_{i=1}^n x_{i}^2 - \frac{2}{n}\sum_{1\le i<j\le n} x_{i}x_{j}$$

или

$$h(x) = \sum_{i=1}^n x_{i}^2 - \frac{1}{n}(\sum_{i=1}^n x_{i})^2$$

Синхронными преобразованиями матрицу к каноническому виду не приведешь - там буквально на втором шаге можно спятить. А методом Лагранжа никак не могу подобрать подходящую замену.

[ewert]

Рекомендую почитать в теории вероятностей (статистике) доказательство того, что в случае нормального распределения выборочное среднее и выборочная дисперсия суть независимые величины и распределены по соотв. законам. Это ровно оно и есть.

[milkwacko]

А если без теории вероятностей? С точки зрения линейной алгебры?

[ewert]

Да там ничего, кроме линейной алгебры, и нет. Просто для линейной алгебры этот вопрос перифериен, а для статистики -- это святое.

------------------------------
Ну хорошо. Идея (детали лень вспоминать): перейдите в систему координат с первым базисным вектором ${1\over\sqrt n}(1,1,1,\ldots1)$, а остальные пусть будут ему ортогональными.

[milkwacko]

ewert,
но ведь моя форма это не совсем выборочная дисперсия. Выборочная дисперсия это же, насколько я понял,

$$h(x) = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n (x_{i}-s)^2$$

где $s$ - выборочное среднее. У меня нет множителя $\frac{1}{n}$.
И можно, пожалуйста, рассказать поподробнее насчет распределения по соответствующим законам и как это применить для перехода к каноническому виду?

[terminator-II]

milkwacko в сообщении #216869 писал(а):

$$h(x) = \frac{n-1}{n}\sum_{i=1}^n x_{i}^2 - \frac{2}{n}\sum_{1\le i<j\le n} x_{i}x_{j}$$

будем искать ортогональный канонический базис для формы
$2\sum_{1\le i<j\le n} x_{i}x_{j}$
все элементы, кроме диагональных, в матрице этой формы равны 1, на главной диагонали -- 0. собственные векторы можно взять такими:
$(1,...,1),(1,0,...,-1),(1,0,...,-1,0),...,(1,-1,0,...,0)$,
соответственно одно из собственных чисел равно $n-1$, остальные -- $-1$.
эти собственные векторы не ортогональны, но найденные собственные числа дают возможность получить каноническую форму:

$$h(y) = \frac{n-1}{n}\sum_{i=1}^n y_{i}^2 + \frac{1}{n}\sum_{2\le i \le n} y_i^2-\frac{n-1}{n}y_1^2=\sum_{2\le i \le n} y_i^2$$

т.е. существует ортонормированный базис в котором $h$ имеет указанный вид