Численные методы. Квазилинейное эллиптическое уравнение.

[Orange]

Доброго времени суток!
Пожалуйста, помогите разобраться в следующей задачке.
Имеется уравнение с граничными условиями
$% MathType!MTEF!2!1!+- % feaafiart1ev1aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn % hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr % 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq-Jc9 % vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0-yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr-x % fr-xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGceaqabeaacqqHuo % arcqaHvpGAcaGGOaGaamiEaiaacYcacaWG5bGaaiykaiabg2da9iab % ew9aQjaacIcacaWG4bGaaiilaiaadMhacaGGPaGaey4kaSIaeqy1dO % 2aaWbaaSqabeaacaaIZaaaaOGaaiikaiaadIhacaGGSaGaamyEaiaa % cMcacaGGSaGaaGPaVlaaykW7caaMc8UaaGPaVlaaykW7caaIWaGaey % izImQaamiEaiaacYcacaWG5bGaeyizImQaaGymaaqaaiabew9aQjaa % cIcacaWG4bGaaiilaiaaicdacaGGPaGaeyypa0Jaci4CaiaacMgaca % GGUbGaeqiWdaNaamiEaiaacUdaaeaacqaHvpGAcaGGOaGaaGimaiaa % cYcacaWG5bGaaiykaiabg2da9iGacohacaGGPbGaaiOBaiabec8aWj % aadMhacaGG7aaabaGaeqy1dOMaaiikaiaadIhacaGGSaGaaGymaiaa % cMcacqGH9aqpciGGZbGaaiyAaiaac6gacaaIYaGaeqiWdaNaamiEai % aacUdaaeaacqaHvpGAcaGGOaGaaGymaiaacYcacaWG5bGaaiykaiab % g2da9iGacohacaGGPbGaaiOBaiaaikdacqaHapaCcaWG5bGaai4oaa % aaaa!90A4! \[ \begin{array}{l} \Delta \varphi (x,y) = \varphi (x,y) + \varphi ^3 (x,y),\,\,\,\,\,0 \le x,y \le 1 \\ \varphi (x,0) = \sin \pi x; \\ \varphi (0,y) = \sin \pi y; \\ \varphi (x,1) = \sin 2\pi x; \\ \varphi (1,y) = \sin 2\pi y; \\ \end{array} \] $
В задаче требуется использовать равномерную сетку 301;301 (на самом деле это не обязательно).
Я не мало чего перепробовал, но никак не могу получить удовлетворительного результата.
Благодарю за помощь!

[TOTAL]

Что именно пробовали, чем результат не удовлетворяет?

[Orange]

Схема крест приводит к нелинейным уравнениям, если только сетка густая, поэтому обычные приёмы типа сведения к матричному уравнению здесь не подходят, по крайней мере, мне они не очевидны. Самое примитивное это методы релаксации, но я не уверен, что они могут дать правильные результаты. Я понимаю под релаксацией следующее : берём нулевое приближение, затем прогоняем его некоторое количество раз через схему крест соотвествующую данному уравнению, можно ещё внедрять в схему какой-н. коэффициент, который, якобы, ускоряет сходимость. Пробовал чебышёвское ускорение - решается параболическая задача вида $% MathType!MTEF!2!1!+- % feaafiart1ev1aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn % hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr % 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq-Jc9 % vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0-yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr-x % fr-xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaeyOaIy7aaS % baaSqaaiaadshaaeqaaOGaamyDaiaacIcacaWG4bGaaiilaiaadMha % caGGSaGaamiDaiaacMcacqGH9aqpcqqHuoarcaWG1bGaaiikaiaadI % hacaGGSaGaamyEaiaacYcacaWG0bGaaiykaiabgUcaRiaadAeacaGG % OaGaamyDaiaacIcacaWG4bGaaiilaiaadMhacaGGSaGaamiDaiaacM % cacaGGPaGaaiilaiaaykW7caWG1bGaaiikaiaadIhacaGGSaGaamyE % aiaacYcacaaIWaGaaiykaiabg2da9iaadwhadaWgaaWcbaGaaGimaa % qabaGccaGGOaGaamiEaiaacYcacaWG5bGaaiykaaaa!6180! \[ \partial _t u(x,y,t) = \Delta u(x,y,t) + F(u(x,y,t)),\,u(x,y,0) = u_0 (x,y) \] $, начальные условия которой есть нулевое приближение исходной задачи, затем решается задача Коши. При достижении равновесия получается нужное решение, т.к. правая часть обращается нуль.
Метод минимизации невязки я плохо понял и видимо не правильно реализовал.

[TOTAL]

Вы что-то пробовали применять и получили какие-то результаты?
Что именно не нравится?

[Orange]

Я пробовал применять метод релаксации, получил неправильные результаты и, вообще, подозреваю, что этот метод неприменим. Чебышевское ускорение пробовал, но опять же, не верно... Подобрал функцию, удовлетворяющую граничным условиям, взял её в качестве нулевого приближения, а далее использовал итерационную процедуру $% MathType!MTEF!2!1!+- % feaafiart1ev1aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn % hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr % 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq-Jc9 % vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0-yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr-x % fr-xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaamyDamaaDa % aaleaacaWGTbGaaiilaiaad6gaaeaacaWGPbGaey4kaSIaaGymaaaa % kiabg2da9iaadwhadaqhaaWcbaGaamyBaiaacYcacaWGUbaabaGaam % yAaaaakiabgUcaRmaalaaabaGaeqySdegabaGaaGinaaaacaGGOaGa % amyDamaaDaaaleaacaWGTbGaey4kaSIaaGymaiaacYcacaWGUbaaba % GaamyAaaaakiabgUcaRiaadwhadaqhaaWcbaGaamyBaiaacYcacaWG % UbGaey4kaSIaaGymaaqaaiaadMgaaaGccqGHRaWkcaWG1bWaa0baaS % qaaiaad2gacqGHsislcaaIXaGaaiilaiaad6gaaeaacaWGPbGaey4k % aSIaaGymaaaakiabgUcaRiaadwhadaqhaaWcbaGaamyBaiaacYcaca % WGUbGaeyOeI0IaaGymaaqaaiaadMgacqGHRaWkcaaIXaaaaOGaeyOe % I0IaaGinaiaadwhadaqhaaWcbaGaamyBaiaacYcacaWGUbaabaGaam % yAaaaakiaacMcacqGHRaWkdaWcaaqaaiaadsgacaWG4bWaaWbaaSqa % beaacaaIYaaaaaGcbaGaaGinaaaacaWGvbGaaiikaiaadwhadaqhaa % WcbaGaamyBaiaacYcacaWGUbaabaGaamyAaaaakiaacMcaaaa!77A9! \[ u_{m,n}^{i + 1} = u_{m,n}^i + \frac{\alpha }{4}(u_{m + 1,n}^i + u_{m,n + 1}^i + u_{m - 1,n}^{i + 1} + u_{m,n - 1}^{i + 1} - 4u_{m,n}^i ) + \frac{{dx^2 }}{4}U(u_{m,n}^i ) \] $
параметр альфа подбирал в интервале [1,2).

-- Сб май 23, 2009 11:28:48 --

при этом $% MathType!MTEF!2!1!+- % feaafiart1ev1aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn % hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr % 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq-Jc9 % vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0-yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr-x % fr-xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaamyDamaaDa % aaleaacaWGTbGaaiilaiaad6gaaeaacaWGPbGaey4kaSIaaGymaaaa % kiabgkHiTiaadwhadaqhaaWcbaGaamyBaiaacYcacaWGUbaabaGaam % yAaaaaaaa!41D5! \[ u_{m,n}^{i + 1} - u_{m,n}^i \] $ должно обратиться в нуль рано или поздно.

[ewert]

Orange в сообщении #216398 писал(а):

при этом $% MathType!MTEF!2!1!+- % feaafiart1ev1aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn % hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr % 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq-Jc9 % vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0-yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr-x % fr-xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaamyDamaaDa % aaleaacaWGTbGaaiilaiaad6gaaeaacaWGPbGaey4kaSIaaGymaaaa % kiabgkHiTiaadwhadaqhaaWcbaGaamyBaiaacYcacaWGUbaabaGaam % yAaaaaaaa!41D5! \[ u_{m,n}^{i + 1} - u_{m,n}^i \] $ должно обратиться в нуль рано или поздно.

Скорее поздно, чем рано. А точнее -- никогда. Вы с какой точностью хотите получить результат?

При сетке 300 на 300 точность Вашей схемы -- порядка десяти в минус пятой. Соответственно: чтобы её исчерпать методом именно релаксации, понадобится порядка ста миллионов итераций.

[Orange]

Так я не понимаю, мы называем методом релаксации всё что связанно, так сказать, с "релаксацией" начального приближения, или же отличаем от всего этого дела, например, метод чебышевского ускорения.
Просто, Вы сослались на утверждение

Цитата:

при этом $% MathType!MTEF!2!1!+- % feaafiart1ev1aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn % hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr % 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq-Jc9 % vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0-yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr-x % fr-xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaamyDamaaDa % aaleaacaWGTbGaaiilaiaad6gaaeaacaWGPbGaey4kaSIaaGymaaaa % kiabgkHiTiaadwhadaqhaaWcbaGaamyBaiaacYcacaWGUbaabaGaam % yAaaaaaaa!41D5! \[ u_{m,n}^{i + 1} - u_{m,n}^i \]$
должно обратиться в нуль рано или поздно.

[ewert]

Я говорил только за метод релаксации. Но в любом случае -- процедура итерационная, и ноль можно получить формально лишь за бесконечное количество шагов. Отсюда и вопрос: какой точности Вы добивались?... и как долго ждали?...

(кстати, для чебышёвских итераций и для метода релаксации скорость сходимости одного порядка -- $\sim(1-Ch))^n.$ А для простых итераций -- на порядок хуже, т.е. для Вашей сетки -- ещё примерно в 300 раз медленнее)

[Orange]

Нуль мне, конечно, не нужен. Достаточно будет точности в третьем знаке после запятой.
Проблема с этим методом в том, что я не могу его реализовать правильно, либо чего-то недопонимаю.
Беру за начально приближение $% MathType!MTEF!2!1!+- % feaafiart1ev1aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn % hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr % 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq-Jc9 % vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0-yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr-x % fr-xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaamyDaiaacI % cacaWG4bGaaiilaiaadMhacaGGSaGaaGimaiaacMcacqGH9aqpcaWG % 1bWaaSbaaSqaaiaaicdaaeqaaOGaaiikaiaadIhacaGGSaGaamyEai % aacMcacqGH9aqpciGGZbGaaiyAaiaac6gacaGGOaGaaGOmaiabec8a % WjaadIhacaWG5bGaaiykaiabgUcaRiaaikdaciGGJbGaai4Baiaaco % hacaGGOaGaaiikaiaadIhacqGHsislcaaIXaGaaiykamaalaaabaGa % eqiWdahabaGaaGOmaaaacaGGOaGaamyEaiabgkHiTiaaigdacaGGPa % GaaiykaiGacogacaGGVbGaai4CaiaacIcadaWcaaqaaiabec8aWbqa % aiaaikdaaaGaamiEaiaacMcaciGGJbGaai4BaiaacohacaGGOaWaaS % aaaeaacqaHapaCaeaacaaIYaaaaiaadMhacaGGPaaaaa!6CA9! \[ u(x,y,0) = u_0 (x,y) = \sin (2\pi xy) + 2\cos ((x - 1)\frac{\pi }{2}(y - 1))\cos (\frac{\pi }{2}x)\cos (\frac{\pi }{2}y) \] $, оно удовлетворяет граничным условиям, подставляю его в $% MathType!MTEF!2!1!+- % feaafiart1ev1aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn % hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr % 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq-Jc9 % vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0-yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr-x % fr-xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaamyDamaaDa % aaleaacaWGTbGaaiilaiaad6gaaeaacaWGPbGaey4kaSIaaGymaaaa % kiabg2da9iaadwhadaqhaaWcbaGaamyBaiaacYcacaWGUbaabaGaam % yAaaaakiabgUcaRmaalaaabaGaeqySdegabaGaaGinaaaacaGGOaGa % amyDamaaDaaaleaacaWGTbGaey4kaSIaaGymaiaacYcacaWGUbaaba % GaamyAaaaakiabgUcaRiaadwhadaqhaaWcbaGaamyBaiaacYcacaWG % UbGaey4kaSIaaGymaaqaaiaadMgaaaGccqGHRaWkcaWG1bWaa0baaS % qaaiaad2gacqGHsislcaaIXaGaaiilaiaad6gaaeaacaWGPbGaey4k % aSIaaGymaaaakiabgUcaRiaadwhadaqhaaWcbaGaamyBaiaacYcaca % WGUbGaeyOeI0IaaGymaaqaaiaadMgacqGHRaWkcaaIXaaaaOGaeyOe % I0IaaGinaiaadwhadaqhaaWcbaGaamyBaiaacYcacaWGUbaabaGaam % yAaaaakiaacMcacqGHRaWkdaWcaaqaaiaadsgacaWG4bWaaWbaaSqa % beaacaaIYaaaaaGcbaGaaGinaaaacaWGvbGaaiikaiaadwhadaqhaa % WcbaGaamyBaiaacYcacaWGUbaabaGaamyAaaaakiaacMcaaaa!77A9! \[ u_{m,n}^{i + 1} = u_{m,n}^i + \frac{\alpha }{4}(u_{m + 1,n}^i + u_{m,n + 1}^i + u_{m - 1,n}^{i + 1} + u_{m,n - 1}^{i + 1} - 4u_{m,n}^i ) + \frac{{dx^2 }}{4}U(u_{m,n}^i ) \] $, прогоняю это уравнение через все внутренние узлы сетки, затем для каждогу узла высчитываю разницу $% MathType!MTEF!2!1!+- % feaafiart1ev1aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn % hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr % 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq-Jc9 % vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0-yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr-x % fr-xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaeqyTdu2aa0 % baaSqaaiaad2gacaGGSaGaamOBaaqaaiaadMgacqGHRaWkcaaIXaaa % aOGaeyypa0JaamyDamaaDaaaleaacaWGTbGaaiilaiaad6gaaeaaca % WGPbGaey4kaSIaaGymaaaakiabgkHiTiaadwhadaqhaaWcbaGaamyB % aiaacYcacaWGUbaabaGaamyAaaaaaaa!49D9! \[ \varepsilon _{m,n}^{i + 1} = u_{m,n}^{i + 1} - u_{m,n}^i \] $ если эта разница меня удовлетворяет (я, к примеру, сравниваю среднее арифметическое ошибок в каждой точке с желаемой точностью в 0.001), значит достигнута желаемая точность, в противном случае вся процедура повторяется.

[ewert]

Orange в сообщении #216422 писал(а):

если эта разница меня удовлетворяет (я, к примеру, сравниваю среднее арифметическое ошибок в каждой точке с желаемой точностью в 0.001), значит достигнута желаемая точность,

Неверно!! При этом вы достигните в лучшем случае точности порядка 0,3. Т.е. фактически ничего не достигнете. Для оценки погрешности разность соседних приближений надо дополнительно делить на $(1-q)$, где $q$ -- знаменатель геометрической прогрессии, со скоростью которой сходится метод. При ваших данных будет $q\sim 0.997$ или ещё хуже.

[Orange]

И как же мне сосчитать q?
Или же воспользоваться предложенным значением???
И это единственная ошибка???

[ewert]

Не знаю, единственная или нет, но что благодаря ей Вы останавливаетесь преждевременно и на чём-то совсем непохожем на решение -- это точно.

Моё значение брать, конечно, не нужно -- оно в достаточной степени среднепотолочное. Вполне надёжно оценить знаменатель можно так. Для каждой тройки вычисляйте отношение норм разностей соседних приближений. И усредняйте эти отношения по нескольким последним шагам (ну, скажем, по десятку).

[Orange]

Ещё проблема. У меня на четвёртой итерации, начиная с некоторого момента, функция u начинает катастрофически возрастать по модулю. С чем это может быть связано не подскажите?

-- Сб май 23, 2009 13:55:06 --

Цитата:

Для каждой тройки вычисляйте отношение норм разностей соседних приближений.

А что, простите, означает "для каждой тройки"???

[ewert]

Orange в сообщении #216427 писал(а):

Ещё проблема. У меня на четвёртой итерации, начиная с некоторого момента, функция u начинает катастрофически возрастать по модулю. С чем это может быть связано не подскажите?

С неустойчивостью, естественно. Метод релаксации не является абсолютно устойчивым. Вы неудачно выбрали параметр релаксации. Поуменьшайте его до тех пор, пока неустойчивость не исчезнет.

Orange в сообщении #216427 писал(а):

А что, простите, означает "для каждой тройки"???

$$q_n={\|\vec u_n-\vec u_{n-1}\|\over\|\vec u_{n-1}-\vec u_{n-2}\|}.$$

По ходу вычислений усредняйте $q_n$ по нескольким последним $n$. По скольки -- не очень принципиально. Лишь бы наблюдаемые результаты усреднений вели себя достаточно стабильно.

[Yu_K]

Крест не очень хорошо себя ведет. Рекомендую расщепление с ресаксацией для этой задачи - т.е. так же как у вас, но на каждом шаге по времени делается два "прохода" - один по пространственной переменной $x$ и второй по пространственной переменной $y$. Там обычные прогонки одномерные можно использовать - все очень хорошо работает. Думаю здесь есть -
http://window.edu.ru/window_catalog/pdf ... 6&p_page=6
http://www.nsu.ru/education/cmet/node58.html