Экстремум функции многих переменных

[Ryabsky]

Задание:
Исследовать на экстремум каждую непрерывно дифференцируемую функцию

$$u=u(x,y)$$

заданную неявно уравнением:
$(x^2+y^2)^2+u^4-8(x^2+y^2)-10u^2+16=0$

Что уже сделал:
Находим точки, подозрительные на экстремум:
$4x(x^2+y^2)+4u^3u'_x-16x-20uu'_x=0$
$4y(x^2+y^2)+4u^3u'_y-16y-20uu'_y=0$
отсюда либо $1)~x=y=0$, либо $2)~x^2+y^2=4$.
Первый случай тривиальный, его решать нечего. Интересует второй случай.
Нашел вторые частные производные:
$u''_{xx}=\frac{y^2+3x^2-4}{5u-u^3}~~~u''_{yy}=\frac{x^2+3y^2-4}{5u-u^3}~~~u''_{xy}=\frac{2xy}{5u-u^3}$
Подставил $x^2+y^2=4$ в исходное уравнение, нашел $u_1=0, u_2=\sqrt{10}, u_3=-\sqrt{10}$.

Проблема вот в чем:
Для $u_2=\sqrt{10}$ строим квадратичную форму:
$\left(\begin{array}{cc} -\frac{2x^2}{5\sqrt{10}} & -\frac{2xy}{5\sqrt{10}} \\ -\frac{2xy}{5\sqrt{10}} & -\frac{2y^2}{5\sqrt{10}} \end{array}\right)$
В итоге получаем, что квадратичная форма - неположительно определенная, что не означает ни существование экстремума, ни его отсутствие. Как мне действовать дальше?

[Yu_K]

А может перейти к цилиндрическим координатам? Сразу понизим кол-во переменных. Ну и подумать - при вращении кривой 4-порядка $z=f(p)$ вокруг оси $Oz$ какие могут быть экстремумы?

[мат-ламер]

Yu_K прав. Надо сделать правильную замену переменных. Например, $z=x^2+y^2, v=u^2$. В новых переменных получится окружность.

[Алексей К.]

Ryabsky в сообщении #215678 писал(а):

отсюда либо $1)~x=y=0$, либо $2)~x^2+y^2=4$.
Первый случай тривиальный, его решать нечего. Интересует второй случай.
Нашел вторые частные производные:
$u''_{xx}=\frac{y^2+3x^2-4}{5u-u^3}~~~u''_{yy}=\frac{x^2+3y^2-4}{5u-u^3}~~~u''_{xy}=\frac{2xy}{5u-u^3}$

Как это --- "его решать нечего"? Это и был экстремум, судя по симметрии задачи.
Вторые производные найдены неверно: $u$ не есть константа: $u=u(x,y)$.

Но эти сложности действительно ни к чему, как уже указано.
Задача сводится к функции одной переменной $v(r)$, $r^2=x^2+y^2$.

[ewert]

Алексей К. в сообщении #215738 писал(а):

Задача сводится к функции одной переменной $v(r)$, $r^2=x^2+y^2$.

$r=x^2+y^2$

[Алексей К.]

ewert в сообщении #215744 писал(а):

$r=x^2+y^2$

У меня так написать не получается. Типа мозги не против, а рука не поднимается...

[ewert]

ну, напишите вместо эр мягкий знак (хотя лучше, конечно, твёрдый)

[Алексей К.]

Надо радикальнее действовать --- схожу к невропатологу...

[Ryabsky]

Алексей К. в сообщении #215738 писал(а):

Вторые производные найдены неверно: $u$ не есть константа: $u=u(x,y)$.

Вторые производные найдены верно, т.к. в процессе дифференцирования неявной функции я потом выражаю эти производные. Козе понятно, что $u$ никуда не уйдет.

Алексей К. в сообщении #215738 писал(а):

Как это --- "его решать нечего"? Это и был экстремум, судя по симметрии задачи.

Это-то понятно, его я сразу нашел. А вот тот второй случай вызвал затруднения, ибо так с ходу и не сообразишь, будет ли там локальный экстремум.

Но за помощь спасибо, сейчас попробую доковырять эту штуковину.

[Алексей К.]

Ryabsky в сообщении #215924 писал(а):

Вторые производные найдены верно, ... Козе понятно

Может, Вы их где-то и верно нашли. Я имел в виду, что опубликованное на форуме --- неверно.

Ryabsky в сообщении #215678 писал(а):

$u''_{xx}=\frac{y^2+3x^2-4}{5u-u^3}$.

Потому что $u'_{x}=\dfrac{xy^2+x^3-4x}{5u-u^3}$ и, стало быть, $u''_{xx}\not=\dfrac{y^2+3x^2-4}{5u-u^3}$. И вряд ли это понятно козе.

[Ryabsky]

но ведь $u'_x$ и $u'_y$ равны нулю, как гласит необходимое условие существования экстремума... отсюда и получили вторые производные в тех точках, написанные мною выше

[Yu_K]

Ryabsky в сообщении #215678 писал(а):

Первый случай тривиальный, его решать нечего. Интересует второй случай.
....
В итоге получаем, что квадратичная форма - неположительно определенная, что не означает ни существование экстремума, ни его отсутствие. Как мне действовать дальше?

Вообще-то мне как раз наоборот кажется - ваш тривиальный случай не совсем тривиальный - это целых четыре точки (два локальных мах и два локальных мин), а вот по второму случаю - все тривиально.

Только думаю понятно - неположительно определенная - может означать и отрицательно определенная - тогда все просто (но это не ваш случай). Корретней говорить, что-то типа форма не является знакоопределенной - поправьте кто знает.

[bot]

Ryabsky в сообщении #215678 писал(а):

Находим точки, подозрительные на экстремум:

Ну, может быть я самый нетерпеливый оказался ...
А по-простому биквадратное уравнение разрешить слабо? А вдруг даже и первые производные тогда не понадобятся?

[Ryabsky]

Прицепились к тривиальному случаю тривиальный - потому что решается по обычному алгоритму, т.е. иными словами, решил его без проблем, нашел эти 2 минимума и 2 максимума а во ко второму - возник вопрос, с которым обратился к вам.
в общем, господа, благодарю всех за помощь, задача решена!

[Yu_K]

Просто картинка. Пов-ть состоит из двух деформированных сфер, проходящих друг через друга и пересекающихся по окружности. На верхней правой картинке часть одной "сферы" отрезана и внутри видно часть второй "сферы". Просто никак не мог представить как такое может быть - два минимума и два максимума на одной прямой у ограниченной пов-ти в трехмерном пространстве - а она просто распадается на две - http://i053.radikal.ru/0905/96/0ba5d16703df.jpg