2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Экстремум функции многих переменных
Сообщение21.05.2009, 02:24 


12/05/09
68
Нижний Новгород
Задание:
Исследовать на экстремум каждую непрерывно дифференцируемую функцию $$u=u(x,y)$$ заданную неявно уравнением:
$(x^2+y^2)^2+u^4-8(x^2+y^2)-10u^2+16=0$

Что уже сделал:
Находим точки, подозрительные на экстремум:
$4x(x^2+y^2)+4u^3u'_x-16x-20uu'_x=0$
$4y(x^2+y^2)+4u^3u'_y-16y-20uu'_y=0$
отсюда либо $1)~x=y=0$, либо $2)~x^2+y^2=4$.
Первый случай тривиальный, его решать нечего. Интересует второй случай.
Нашел вторые частные производные:
$u''_{xx}=\frac{y^2+3x^2-4}{5u-u^3}~~~u''_{yy}=\frac{x^2+3y^2-4}{5u-u^3}~~~u''_{xy}=\frac{2xy}{5u-u^3}$
Подставил $x^2+y^2=4$ в исходное уравнение, нашел $u_1=0, u_2=\sqrt{10}, u_3=-\sqrt{10}$.

Проблема вот в чем:
Для $u_2=\sqrt{10}$ строим квадратичную форму:
$\left(\begin{array}{cc} -\frac{2x^2}{5\sqrt{10}} & -\frac{2xy}{5\sqrt{10}} \\ -\frac{2xy}{5\sqrt{10}} & -\frac{2y^2}{5\sqrt{10}} \end{array}\right)$
В итоге получаем, что квадратичная форма - неположительно определенная, что не означает ни существование экстремума, ни его отсутствие. Как мне действовать дальше?

 Профиль  
                  
 
 Re: Экстремум функции многих переменных
Сообщение21.05.2009, 03:46 


02/11/08
1187
А может перейти к цилиндрическим координатам? Сразу понизим кол-во переменных. Ну и подумать - при вращении кривой 4-порядка $z=f(p)$ вокруг оси $Oz$ какие могут быть экстремумы?

 Профиль  
                  
 
 Re: Экстремум функции многих переменных
Сообщение21.05.2009, 08:15 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/09
6590
Yu_K прав. Надо сделать правильную замену переменных. Например, $z=x^2+y^2, v=u^2$. В новых переменных получится окружность.

 Профиль  
                  
 
 Re: Экстремум функции многих переменных
Сообщение21.05.2009, 10:23 


29/09/06
4552
Ryabsky в сообщении #215678 писал(а):
отсюда либо $1)~x=y=0$, либо $2)~x^2+y^2=4$.
Первый случай тривиальный, его решать нечего. Интересует второй случай.
Нашел вторые частные производные:
$u''_{xx}=\frac{y^2+3x^2-4}{5u-u^3}~~~u''_{yy}=\frac{x^2+3y^2-4}{5u-u^3}~~~u''_{xy}=\frac{2xy}{5u-u^3}$

Как это --- "его решать нечего"? Это и был экстремум, судя по симметрии задачи.
Вторые производные найдены неверно: $u$ не есть константа: $u=u(x,y)$.

Но эти сложности действительно ни к чему, как уже указано.
Задача сводится к функции одной переменной $v(r)$, $r^2=x^2+y^2$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Экстремум функции многих переменных
Сообщение21.05.2009, 10:30 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Алексей К. в сообщении #215738 писал(а):
Задача сводится к функции одной переменной $v(r)$, $r^2=x^2+y^2$.

$r=x^2+y^2$

 Профиль  
                  
 
 Re: Экстремум функции многих переменных
Сообщение21.05.2009, 10:33 


29/09/06
4552
ewert в сообщении #215744 писал(а):
$r=x^2+y^2$
У меня так написать не получается. :oops: Типа мозги не против, а рука не поднимается... :)

 Профиль  
                  
 
 Re: Экстремум функции многих переменных
Сообщение21.05.2009, 10:38 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
ну, напишите вместо эр мягкий знак (хотя лучше, конечно, твёрдый)

 Профиль  
                  
 
 Re: Экстремум функции многих переменных
Сообщение21.05.2009, 10:43 


29/09/06
4552
Надо радикальнее действовать --- схожу к невропатологу...

 Профиль  
                  
 
 Re: Экстремум функции многих переменных
Сообщение21.05.2009, 18:26 


12/05/09
68
Нижний Новгород
Алексей К. в сообщении #215738 писал(а):
Вторые производные найдены неверно: $u$ не есть константа: $u=u(x,y)$.

Вторые производные найдены верно, т.к. в процессе дифференцирования неявной функции я потом выражаю эти производные. Козе понятно, что $u$ никуда не уйдет.

Алексей К. в сообщении #215738 писал(а):
Как это --- "его решать нечего"? Это и был экстремум, судя по симметрии задачи.

Это-то понятно, его я сразу нашел. А вот тот второй случай вызвал затруднения, ибо так с ходу и не сообразишь, будет ли там локальный экстремум.

Но за помощь спасибо, сейчас попробую доковырять эту штуковину.

 Профиль  
                  
 
 Re: Экстремум функции многих переменных
Сообщение21.05.2009, 20:17 


29/09/06
4552
Ryabsky в сообщении #215924 писал(а):
Вторые производные найдены верно, ... Козе понятно
Может, Вы их где-то и верно нашли. Я имел в виду, что опубликованное на форуме --- неверно.
Ryabsky в сообщении #215678 писал(а):
$u''_{xx}=\frac{y^2+3x^2-4}{5u-u^3}$.
Потому что $u'_{x}=\dfrac{xy^2+x^3-4x}{5u-u^3}$ и, стало быть, $u''_{xx}\not=\dfrac{y^2+3x^2-4}{5u-u^3}$. И вряд ли это понятно козе.

 Профиль  
                  
 
 Re: Экстремум функции многих переменных
Сообщение21.05.2009, 20:26 


12/05/09
68
Нижний Новгород
но ведь $u'_x$ и $u'_y$ равны нулю, как гласит необходимое условие существования экстремума... отсюда и получили вторые производные в тех точках, написанные мною выше

 Профиль  
                  
 
 Re: Экстремум функции многих переменных
Сообщение22.05.2009, 09:05 


02/11/08
1187
Ryabsky в сообщении #215678 писал(а):
Первый случай тривиальный, его решать нечего. Интересует второй случай.
....
В итоге получаем, что квадратичная форма - неположительно определенная, что не означает ни существование экстремума, ни его отсутствие. Как мне действовать дальше?


Вообще-то мне как раз наоборот кажется - ваш тривиальный случай не совсем тривиальный - это целых четыре точки (два локальных мах и два локальных мин), а вот по второму случаю - все тривиально.

Только думаю понятно - неположительно определенная - может означать и отрицательно определенная - тогда все просто (но это не ваш случай). Корретней говорить, что-то типа форма не является знакоопределенной - поправьте кто знает.

 Профиль  
                  
 
 Re: Экстремум функции многих переменных
Сообщение22.05.2009, 17:44 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


21/12/05
5903
Новосибирск
Ryabsky в сообщении #215678 писал(а):
Находим точки, подозрительные на экстремум:

Ну, может быть я самый нетерпеливый оказался ...
А по-простому биквадратное уравнение разрешить слабо? А вдруг даже и первые производные тогда не понадобятся?

 Профиль  
                  
 
 Re: Экстремум функции многих переменных
Сообщение22.05.2009, 22:53 


12/05/09
68
Нижний Новгород
Прицепились к тривиальному случаю :) тривиальный - потому что решается по обычному алгоритму, т.е. иными словами, решил его без проблем, нашел эти 2 минимума и 2 максимума :) а во ко второму - возник вопрос, с которым обратился к вам.
в общем, господа, благодарю всех за помощь, задача решена! :)

 Профиль  
                  
 
 Re: Экстремум функции многих переменных
Сообщение23.05.2009, 03:46 


02/11/08
1187
Просто картинка. Пов-ть состоит из двух деформированных сфер, проходящих друг через друга и пересекающихся по окружности. На верхней правой картинке часть одной "сферы" отрезана и внутри видно часть второй "сферы". Просто никак не мог представить как такое может быть - два минимума и два максимума на одной прямой у ограниченной пов-ти в трехмерном пространстве - а она просто распадается на две - http://i053.radikal.ru/0905/96/0ba5d16703df.jpg

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 15 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group