функция PowerTower для действительных аргументов

[LetsGOX]

Введение
Если посмотреть на различные базовые математические операции, то можно заметить примерно следующее:
1. В ранне-школьном определении $a\times b$ это $a$, сложенное само с самим $b$ раз, где $b$ подразумевалось натуральное число (Количество сложений), но ведь умножать можно и нужну совсем и не натуральные числа, те исхожное определение не совсем верно
2. В ранне-школьном опреденеии $a^b$ это $a$, умноженное само на себя $b$ раз, где $b$ опять-таки натуральное (Количетсво умножений), но мы-то значем, что можно возводить хоть в комплексную степень, те исходное определения опять достаточно слабое

ВОПРОС
Функцию $PowerTower(x,n)$ определяют как $x$ возведенный в степень самого себя $n$ раз, где $n$ точно натуральное
А что же будет, если вместо $n$ взять не натуральное число (По аналогии с вышесказанным) ?
Я понимаю что теорема Фробениуса не даст появиться новым числам после комплексных, но все-таки результатом функции $PowerTower(5,\sqrt{2})$ будет что?

P.S. Неужели тут опять Ламберт?

[maxal]

LetsGOX в сообщении #215921 писал(а):

А что же будет, если вместо $n$ взять не натуральное число (По аналогии с вышесказанным) ?

Аналогиии не получится.

Для произведения и возведения в степень существует функция $f(n)$ такая, что:

$$(x\star n)\star f(n) \equiv x$$

где $\star$ - это либо умножение, либо возведение в степень.
Причем функция $f(n)$ в обоих случаях одна и та же: $f(n)=\frac{1}{n}.$

Именно наличие функции $f(n)$ позволяет распространить операцию на рациональные числа:

$$x\star\frac{p}{q} = (x\star p)\star f(q),$$

а затем по непрерывности и на действительные.

А вот для степенной башни такой функции $f(n)$ нет, и тождество

$$(x\uparrow\uparrow n)\uparrow\uparrow f(n) \equiv x$$

невозможно удовлетворить даже уже при $n=2$.

P.S. $\uparrow\uparrow$ - это стандартное обозначение для PowerTower, см. http://mathworld.wolfram.com/PowerTower.html

[LetsGOX]

maxal Ах вот оно что, спасибо большое за раъяснения, теперь все стало на свои места