Уравнение

[Gortaur]

Вашему вниманию предлагаю уравнение. Сам знаю 3 решения, 2 из которых придумал сам. Одно просто рвет мозг своей задумкой, но работает )

$$\sqrt{x+5} = x^2-5$$

[ewert]

Поскольку рациональных корней (кроме (-5)) нет -- только формула Кардано.

[Gortaur]

Разумеется, никакие формулы для корней уравнения 3-го и 4-го порядка использовать нельзя.

[juna]

Вот два корня
$x^2=5+\sqrt{5+x}$
$x=\sqrt{5+\sqrt{5+x}}$
$x=\sqrt{5+\sqrt{5+\sqrt{5+\sqrt{5+..}}}}=\sqrt{5+x}$
$x^2-x-5=0$
Уже обсуждалось

[Gortaur]

2 juna
лишь один из корней приведенного здесь уравнения подходит. К тому же не назван второй корень исходного уравнения.

Ответ неверен.

[juna]

Gortaur в сообщении #215522 писал(а):

2 juna
лишь один из корней приведенного здесь уравнения подходит. К тому же не назван второй корень исходного уравнения.

Ответ неверен.

А где Вы увидели ответ? Я лишь показал ход возможного решения.

[ewert]

juna в сообщении #215518 писал(а):

$x^2-x-5=0$

Любопытно. Если подставить это в истинное уравнение $(x-5)^2(x+5)=1,$ то получится уравнение $x(x-5)=1.$ Но у него совсем другие корни, чем у Вашего.

Почему бы это, а?...

[TOTAL]

$\left( x^2 -\frac{9}{2} \right)^2=\left( \sqrt{x+5}+\frac{1}{2} \right)^2=\left( x +\frac{1}{2} \right)^2$

[Gortaur]

словом, выделение квадрата - лишь одно из хм... тривиальных решений. Есть графическое - простейшее, а также очень красивое с заменой переменных. Надеюсь увидеть здесь последнее.

[Brukvalub]

Gortaur в сообщении #215536 писал(а):

Надеюсь увидеть здесь последнее.

Замените 5 на параметр и, после возведения обеих частей в квадрат (доп. условиями обеспечьте равносильность такого возведения), решайте относительно этого параметра.

[worm2]

А что тут особенно думать? Возводим в квадрат (здесь, правда, появляются нежелательные корни, но от них легко избавиться), получаем уравнение 4-й степени, которое легко записывается как $x=f(f(x))$, где $f(x)=x^2-5$. Понятно, что все корни уравнения $x=f(x)$ также являются корнями этого уравнения, что раскладывает многочлен 4-й степени на 2 квадратных трёхчлена, дальше всё очевидно.

-- Ср май 20, 2009 18:13:10 --

Хотя у Brukvalubа, конечно, красивее.

[neo66]

Наше уравнение $\sqrt{x-5}=x-5$ имеет два корня - положительный и отрицательный.

Рассмотрим уравнение $f(x)=(x^2-5)^2-x-5=0$. Множество его корней содержит множество корней исходного уравнения.
Но, $f(x)=(x^2-x-5)(x^2+x-4)$.
Поэтому уравнение $f(x)=0$ распадается на два:
$x^2-x-5=0$
$x^2+x-4=0$
При этом положительный корень первого из них и отрицательный корень второго даст все корни исходного уравнения.

[V.V.]

Gortaur в сообщении #215506 писал(а):

$$\sqrt{x+5} = x^2-5$$

Рассмотрите уравнение $\sqrt{x+a}=x^2-a$ и решите его относительно $a$ (оно будет квадратное, легко решится).

[terminator-II]

никогда не понимал смысла таких задач. в частном случае так или иначе надо воспроизвести рассуждения из вывода формул Кордано. а можно мне еще задачу запостить: $4x^4+11x^3-7x+2=0$
теперь можно с умным видом объяснять ,что тут следовало догадаться до разложения
$4x^4+11x^3-7x+2=(4x^2+3x-2)(x^2+2x-1)$.

[V.V.]

Кардано