матричные алгебры

[Икром]

Дана 5 мерная ассоциативная алгебра А (матрица 4 на 4).
$\begin{pmatrix}a&0&0&0\\b&a&0&0\\e&b&a&d\\0&0&0&c\end{pmatrix}$
базисы алгебры А это матричные единицы и таблица умножение базисных элементов:
$e_1e_1=e_1, e_1e_2=e_2, e_1e_4=e_4, e_1e_5=e_5, e_2e_1=e_2, e_2e_2=e_5, e_3e_3=e_3, \\ e_4e_3=e_4, e_5e_1=e_5, $ где $e_1=\alpha_{11}+\alpha_{22}+\alpha_{33}, e_2=\alpha_{21}+\alpha_{32}, e_3=\alpha_{44}, e_4=\alpha_{34}, e_5=\alpha_{31} $
не трудно заметит что это алгебра с единицей $1=e_1+e_3=\alpha_{11}+\alpha_{22}+\alpha_{33}+\alpha_{44},$.
я хочу из этой 5 мерной ассоциативной алгеброй с единицей получить 4 мерную алгебру (без единицы, удаляя единицу).
Вопрос! В качестве базисных элементов я беру 1 (единицу) $1=e_1+e_3$, $e_2, e_4, e_5$ а как подобрать пятый базис?
Заранее спасибо, всем!

[Xaositect]

$e_1-e_3$?

[Икром]

mr Xaositect!
А почему $e_1-e_3$?
вопросительный знак. Либо вы не уверены!
спасибо за внимание и ответь!

[Xaositect]

$\{e_1, e_3\}$ и $\{e_1+e_3, e_1-e_3\}$ порождают одно и то же подпространство.
То есть базисом это будет точно.

Я в вопрос особо не вчитывался, был не уверен, что этот вариант Вам подойдет.
Теперь прочитал, вижу, что должно подойти.

[Икром]

mr Xaositect!
Из этой алгебры удаляя единицу определяю таблицу новых базисных элементов (4 мерн. алг. без единиц) следующим образом, так ли:
$1=e_1+e_3, x=e_2, y=e_1-e_3, z=e_4, h=e_5$
x,y,z,h базис 4 мерн. алг.
$xy=x, yx=x, yy=y, yz=z, yh=h, zy=-z, hy=h$
thanks a lot!

-- Пт май 15, 2009 13:47:13 --

Дана 5 мерная ассоциативная алгебра А (матрица 4 на 4).
$\begin{pmatrix}a&0&0&0\\b&a&0&0\\e&b&a&d\\0&0&0&c\end{pmatrix}$
базисы алгебры А это матричные единицы и таблица умножение базисных элементов:
$e_1e_1=e_1, e_1e_2=e_2, e_1e_4=e_4, e_1e_5=e_5, e_2e_1=e_2, e_2e_2=e_5, e_3e_3=e_3, \\ e_4e_3=e_4, e_5e_1=e_5, $ где $e_1=\alpha_{11}+\alpha_{22}+\alpha_{33}, e_2=\alpha_{21}+\alpha_{32}, e_3=\alpha_{44}, e_4=\alpha_{34}, e_5=\alpha_{31} $

Для того чтобы из этой алгебры получить 4 мерную алгебру без единицы я делаю два подхода:
1. Из выше указанной таблицы умножение 5 мерной алгебры рассматириваю все 4 мерные подпространства (точнее подалгебры)
а) $e_1e_1=e_1, e_1e_2=e_2, e_1e_4=e_4, e_2e_1=e_2, e_3e_3=e_3, e_4e_3=e_4, $
б) $e_1e_1=e_1, e_1e_2=e_2, e_1e_5=e_5, e_2e_1=e_2, e_2e_2=e_5, e_3e_3=e_3, e_5e_1=e_5, $
в) $e_1e_1=e_1, e_1e_2=e_2, e_1e_4=e_4, e_1e_5=e_5, e_2e_1=e_2, e_2e_2=e_5, e_5e_1=e_5, $
д) $e_1e_1=e_1, e_1e_4=e_4, e_1e_5=e_5, e_3e_3=e_3, e_4e_3=e_4, e_5e_1=e_5, $
е) $e_2e_2=e_5, e_3e_3=e_3, e_4e_3=e_4, $
(среди получанных алгебр может быт попарно изоморфные, ...)

2. $1=e_1+e_3, x=e_2, y=e_1-e_3, z=e_4, h=e_5$
x,y,z,h базис 4 мерн. алг.
$xy=x, yx=x, yy=y, yz=z, yh=h, zy=-z, hy=h$


Какой из вышеуказанных методов правильно (и удобно)?
Заранее спасибо, всем!

[bot]

Икром в сообщении #214139 писал(а):

Дана 5 мерная ассоциативная алгебра А (матрица 4 на 4)....

Ничего не понимаю. Множество этих матриц замкнуто относительно сложения и умножения, так что это действительно подалгебра в алгебре всех матриц четвёртого порядка. Эта алгебра 5-мерна и в качестве одного из возможных базисов напрашивается следующий:
$E, E_{21}+E_{32}, E_{44}, E_{34}, E_{31}$
Здесь $E$ - единичная матрица, $E_{ij}$ - матричная единичка, то есть матрица с единственной единичкой на пересечении $i-$ой строки и $j-$го столбца. У Вас это $\alpha_{ij}$.
Четырёхмерных подалгебр без единицы в ней много, но одна из них напрашивается сразу - это подалгебра, порождённая последними 4-мя элементами указанного базиса. Это просто подалгебра матриц указанного Вами вида только с $a=0$. Матрицы $E$ в ней нет - это ясно, но и никакая другая матрица не будет нейтральным элементом при умножении на остальные.
Может быть об этом Вы хотели сказать ниже?

Цитата:

я хочу из этой 5 мерной ассоциативной алгеброй с единицей получить 4 мерную алгебру (без единицы, удаляя единицу).

А вот здесь вообще не разберу, о чём это:

Цитата:

Вопрос! В качестве базисных элементов я беру 1 (единицу) $1=e_1+e_3$, $e_2, e_4, e_5$ а как подобрать пятый базис?

[Икром]

$\begin{pmatrix}a&0&0&0\\b&a&0&0\\e&b&a&d\\0&0&0&c\end{pmatrix}$
базисы алгебры А это матричные единицы и таблица умножение базисных элементов:
$e_1e_1=e_1, e_1e_2=e_2, e_1e_4=e_4, e_1e_5=e_5, e_2e_1=e_2, e_2e_2=e_5, e_3e_3=e_3, \\ e_4e_3=e_4, e_5e_1=e_5, $
\\$e_1=E_{11}+E_{22}+E_{33}, e_2=E_{21}+E_{32}, e_3=E_{44}, e_4=E_{34}, e_5=E_{31} $ (*)

я хочу из этой 5 мерной ассоциативной алгеброй с единицей получить 4 мерную алгебру (без единицы, удаляя единицу, ).
Mr Bot!
Мы знаем что в n мерной алгебре без единиц присоединяя единицу мы можем определить n+1 мерную алгебру (не так ли?) а я делаю наборот из 5 мерной алгебры с единицей хочу определить 4 мерную алгебру без единиц!
вы правильно заметили у пятимерной алгебру много подалгебр, и проблема то в этом. Я должен рассмотрет все подалгебры или достаточно рассмотрет 4 мерную подалгебру с базисоными элементами как вы сказали:
Если я вас правильно понял, в алгебре А я могу взят базис:

$e_1=E_{11}+E_{22}+E_{33}+E_{44}, e_2=E_{21}+E_{32}, e_3=E_{44}, e_4=E_{34}, e_5=E_{31} $

и 4 мерная алгебра (без единиц) это алгебра с след. базисными элементами
$e_2=E_{21}+E_{32}, e_3=E_{44}, e_4=E_{34}, e_5=E_{31} $
которая имеет таблицу:
$e_2e_2=e_5, e_4e_3=e_4$
тогда нет необходимоти следуюшего вопроса:
Вопрос! В качестве базисных элементов я беру 1 (единицу) $1=e_1+e_3$, $e_2, e_4, e_5$ а как подобрать пятый базис?
спасибо!

[bot]

Икром в сообщении #214833 писал(а):

Я должен рассмотрет все подалгебры или достаточно рассмотрет 4 мерную подалгебру

А откуда мне знать, нужно ли Вам лишь пример или описание всех?

Икром в сообщении #214833 писал(а):

Если я вас правильно понял, в алгебре А я могу взят базис:

$e_1=E_{11}+E_{22}+E_{33}+E_{44}, e_2=E_{21}+E_{32}, e_3=E_{44}, e_4=E_{34}, e_5=E_{31} $

Да, правильно поняли - получается нужный пример

Цитата:

и 4 мерная алгебра (без единиц) это алгебра с след. базисными элементами
$e_2=E_{21}+E_{32}, e_3=E_{44}, e_4=E_{34}, e_5=E_{31} $
которая имеет таблицу:
$e_2e_2=e_5, e_4e_3=e_4$

Вы только пропустили $e_3e_3=e_3$, а все остальные произведения базисных элементов равны нулю.

[Икром]

Спасибо mr BOT and Xaositect!
Спасибо всем кто просмотрел ТЕМУ!