Построить график и определить четность (нечетность) функции

[ewert]

Solution в сообщении #214021 писал(а):

но ведь график нечетной функции симметричен относительно 0? а этот вроде нет...

Переопределите $f(0)\equiv0$ -- вот и получится симметричным.

А вообще всё это какая-то ловля блох. Тот, кто сочинял задачку, наверняка об этом вообще не задумывался, а $f(0)=1$ допустил просто от вполне естественного легкомыслия. Я в подобных случаях обычно попросту использую для определения только открытые интервалы, чтобы не возникало ненужных вопросов.

[gris]

Очень даже симметричен. Кстати, посмотрите, как в график чудесно укладывается синусоида. Если её поджать немного по оси $x$

[Алексей К.]

Solution в сообщении #214021 писал(а):

но ведь график нечетной функции симметричен относительно 0? а этот вроде нет...

Его предлагается слегка исказить, чтобы он стал нечётным (точнее, чтобы ф-ция стала нечётной). Исказить "на множестве точек меры нуль" --- я совсем недавно выучил эти слова! Это чисто ради дальнейших упражнений с рядом Фурье.

Далее не углубляюсь, ибо строго излагать вопрос не могу.

[rar]

Все-таки. Нужно не словесное, а какое-нибудь строгое доказательство относительно четности/нечетности данной функции. В Ряд Фурье буду потом раскладывать. На данном этапе нужно доказательство.

[Виктор Викторов]

Уважаемый rar!

Давайте проще. Если f(-x)= f(x) для всех значений х, то функция чётная. Если f(-x)=-f(x) для всех значений х, то функция нечётная. У Вас f(-0)= f(0)=1. Т.е. по нулю есть подозрение, что функция чётная. Но это не так, потому что, например, для f(-1)=-1, f(1)=1. Итак, чётность отпадает. Но для почти всех значений х f(-x)=-f(x), а здесь не проходит ноль. f(-0)=1 и f(0)=1. Итак, функция ни чётная и ни нечётная. Кстати, как уже здесь писали, нечётная функция симметрична относительно начала координат. Вам же надо поставить стрелочку к -1 и вопрос о симметрии отпадёт. У нас у всех съехала крыша (включая меня). Это задачка максимум для 9-го класса в России и для 12-го в Штатах. Ряды Фурье здесь не нужны.

[rar]

В общем, эта функция общего вида?

Давайте я попытаюсь все записать аналитически.

Вот моя кусочно-линейная функция:

$$f(x) = \left\{ \begin{array}{rr} -x-2, & -2 \leqslant x < -1, \\ -1, & -1 \leqslant x < 0, \\ 1, & 0 \leqslant x < 1, \\ -x+2, & 1 \leqslant x \leqslant 2. \end{array}$$

Проверим на четность/нечетность для каждой отдельной функции.

$$f(x)=-x-2$$

:

$$f(-x)=-(-x)-2=x-2$$

- общего вида.

$$f(x)=-1$$

:

$$f(-x)=-1$$

- четная функция.

$$f(x)=1$$

:

$$f(-x)=1$$

- четная функция.

$$f(x)=-x+2$$

:

$$f(-x)=-(-x)+2=x+2$$

- общего вида.

И вот вопрос, каким образом четности/нечетности/общего вида следует честность/нечетность/общего вида основной функции? Или надо полагать, если все входящие в нее функции одного вида, то основная функция того же вида. Если все входящие функции разного вида, то основная функция - общего вида? Так?
У меня, по видимому, общего вида. И раскладывать в ряд Фурье я буду функцию общего вида.

[Алексей К.]

Строгое доказательство отсутствия нечётности я дал выше:

Алексей К. в сообщении #214012 писал(а):

Определение нечётной функции $f(x)=-f(-x)$ выполнено всюду, кроме $x=0$, ибо $\underbrace{f(0)}_{1}\not=\underbrace{-f(-0)=-f(0)}_{-1}$.

Всё. Нечётности нет.

Более подробно его (ещё и про отсутствие чётности) его расписал Виктор Викторов.
Ваше противопоставление "словесного" и "строгого" док-ств неверно: имеется типичное школьное заблуждение, что доказательство "строгое", если в нём присутствуют (хоть какие-нибудь) формулы.

Вы в своём "доказательстве", в частности, оперируете с никому не известными терминами "функция общего вида", "основного вида". Наличие наукообразных слов строгости не прибавляет.

[gris]

О, только не раскладывайте её как функцию общего вида! Впрочем, Вы всего лишь проделаете лишнюю работу по вычислению коэффициентов, которые заведомо равны нулю. Именно для избежания лишней работы перед раскладыванием в ряд Фурье и определяют вид функции.

Ступенчатая функция состоит из кусочков постоянных функций, но сама константой не является. Так же и с чётностью. Но и тут Вы ошибаетесь. Определённая на интервале $[0;1)$ функция $y=1$ не является ни чётной, ни нечётной.

Но вернёмся к аналитическому определению вида Вашей функции. Итак,

$$f(x) = \left\{ \begin{array}{rr} -x-2, & -2 \leqslant x < -1, \\ -1, & -1 \leqslant x < 0, \\ 1, & 0 \leqslant x < 1, \\ -x+2, & 1 \leqslant x \leqslant 2. \end{array}$$

Теперь рассмотрим $f(-x)$.

Пусть

$$-2 < x < -1 \Longrightarrow f(x)=-x-2$$

Но если

$$-2 < x < -1 \Longrightarrow 1 <-x < 2\Longrightarrow f(-x)=-(-x)+2=x+2=-(-x-2)=-f(x)$$

.

Аналогично
Пусть

$$-1 < x < 0 \Longrightarrow f(x)=-1$$

Но если

$$-1 < x <0 \Longrightarrow 0 <-x < 1\Longrightarrow f(-x)=1=-(-1)=-f(x)$$

.

Пусть

$$0 < x < 1 \Longrightarrow f(x)=1$$

Но если

$$0 < x <1 \Longrightarrow -1 <-x < 0\Longrightarrow f(-x)=-1=-(1)=-f(x)$$

.

Пусть

$$1 < x < 2 \Longrightarrow f(x)=-x+2$$

Но если

$$1 < x < 2 \Longrightarrow -2 <-x < -1\Longrightarrow f(-x)=-(-x)-2=x-2=-(-x+2)=-f(x)$$

.

Итак,

$$f(-x) = \left\{ \begin{array}{rr} -f(x), & -2 <x < -1, \\ -f(x), & -1<x < 0, \\ -f(x), & 0 < x < 1, \\ -f(x), & 1 < x < 2. \end{array}$$

В отдельных точках $x=-2;-1;0;1;2$ можно не проверять вид функции.

Вот достаточно строгое доказательство невинности нечётности $f(x)$ именно для разложения в ряд Фурье, то есть за исключением одной точки.

[ewert]

gris в сообщении #214876 писал(а):

В отдельных точках $x=-2;-1;0;1;2$ можно не проверять тип функции.

Вот достаточно строгое даказательство

Недостаточно. Нельзя не проверять.

[gris]

А можно и проверить. Кроме $x=0$ равенство $f(-x)=-f(x)$ выполняется.

[Виктор Викторов]

rar в сообщении #214849 писал(а):

В общем, эта функция общего вида?

Давайте я попытаюсь все записать аналитически.

Вот моя кусочно-линейная функция:

$$f(x) = \left\{ \begin{array}{rr} -x-2, & -2 \leqslant x < -1, \\ -1, & -1 \leqslant x < 0, \\ 1, & 0 \leqslant x < 1, \\ -x+2, & 1 \leqslant x \leqslant 2. \end{array}$$

Проверим на четность/нечетность для каждой отдельной функции.

$$f(x)=-x-2$$

:

$$f(-x)=-(-x)-2=x-2$$

- общего вида.

$$f(x)=-1$$

:

$$f(-x)=-1$$

- четная функция.

$$f(x)=1$$

:

$$f(-x)=1$$

- четная функция.

$$f(x)=-x+2$$

:

$$f(-x)=-(-x)+2=x+2$$

- общего вида.

А вот этого делать нельзя! Разговор идёт только о Вашей кусочно-линейной функции. У неё есть симметричная область определения. Её «четность/нечетность» не складывается из четности или нечетности её составляющих!!
«Проверим на четность/нечетность для каждой отдельной функции». Это катастрофа.
Можно проверять, на «четность/нечетность» только отдельно (не связывая с первоначальной функцией) каждую из них. Но тут ответ приходит сразу: Каждая из этих функций не является ни четной ни нечетной просто потому, что интервал рассмотрения не является симметричным. И это не имеет никакого отношения к Вашей кусочно-линейной функции.