определение предела функции

[Catcher of Souls]

Виктор Викторов в сообщении #213254 писал(а):

Дайте, электронный адрес; пришлю копию.

Пришлите, пожалуйста, интересно посмотреть, хоть и мои знания по математике пока невелики. Адрес: [e-mail].

[Виктор Викторов]

bot в сообщении #213017 писал(а):

Ну давайте попробуем взять псевдоопределение предела, сняв ограничение $x\ne x_0$. Для простоты ограничимся всюду определенными вещественными функциями.

$\lim\limits_{x\to x_0} f(x)=a \ \iff \ (\forall \varepsilon > 0 )(\exists \delta > 0 )(|x-x_0|<\delta \Rightarrow |f(x)-a|<\varepsilon)$

Берём произвольное $\varepsilon > 0$ и находим $\delta>0$, для которого выполняется импликация $|x-x_0|<\delta \Rightarrow |f(x)-a|<\varepsilon$. Посылка импликации выполняется при $x=x_0$, следовательно должно выполняться заключение $|f(x_0)-a|<\varepsilon$. Таким образом получаем, что $(\forall \varepsilon > 0) \ (|f(x_0)-a|<\varepsilon)$. Каково постоянное неотрицательное число, которое меньше любого положительного? Только 0, то есть $f(x_0)=a$.
Иначе говоря никакое число, кроме значения функции в точке, не может согласно псевдоопределению быть пределом функции в точке, то есть ограничение можно снять только для непрерывной функции.

Пока писал, сообразил, что можно было ограничиться примером:

$f(x)=0$ при $x\ne 0$ и $f(0)=1$. Тогда согласно определению предела $\lim\limits_{x\to 0} f(x)=0$, а если пользоваться псевдоопределением, то предела нет.

terminator-II в сообщении #213073 писал(а):

Берем функцию $f(x)=0$ при $x\ne 0$ и $f(0)=1$. Если взять фильтр сходящийся к нулю и содержащий множество $\{0\}$, то предел функции по такому фильтру будет равен 1. Если взять фильтр сходящийся к нулю и содержащий проколотые окрестности нуля, то предел по такому фильтру будет равен 0.

Виктор Викторов в сообщении #213254 писал(а):

Я бы даже не брал «фильтр, сходящийся к нулю и содержащий проколотые окрестности нуля». Достаточно рассмотреть фильтр всех окрестностей нуля. А результат интересный.

Я ошибся. Конечно, нужно рассматривать «фильтр, сходящийся к нулю и содержащий проколотые окрестности нуля» (имеется ввиду фильтр с базой из проколотых окрестностей нуля). Но в результате моей ошибки мы можем рассмотреть предел функции по трём различным фильтрам.

1. Фильтр с базой из проколотых окрестностей нуля.
Это классическая ситуация соответствующая определению предела при $x\ne x_0$. База соответствующего фильтра в множестве значений состоит из множеств {0} и {0, 1}. Предел равен нулю.

2. Фильтр с базой {0}. Это ситуация псевдоопределения предела без ограничения $x\ne x_0$. База соответствующего фильтра в множестве значений состоит из множеств {1} и {0, 1}. Предел равен единице. Фильтр как бы говорит: «мне безразлично, что там вокруг нуля. В нуле значение единица!».

3. Фильтр всех окрестностей нуля. База соответствующего фильтра в множестве значений состоит из множества {0, 1}. Предел функции по этому фильтру не существует! Фильтр как бы говорит: «противоречие между стремлением и результатом».

[Catcher of Souls]

Цитата из книги П.С. Александрова «Введение в общую теорию множеств и функций»:

Цитата:

Определение 1. Пусть на множестве $E$ (лежащем в $R^1$ или в $R^2$) определена функция $f(x)$. Пусть $x_0$ есть предельная точка множества $E$ (принадлежащая или не принадлежащая множеству $E$). Мы называем число $a$ пределом функции $f(x)$ при $x$ стремящемся к $x_0$ по множеству $E$, и пишем $a=\lim\limits_{\frac{x \to x_0}{x \in E}} f(x)$ или $a=\lim\limits_{x_0, \ E}f(x)$, если для всякого $\varepsilon >0$ можно найти такое $\delta >0$, что для всех $x \in E$, лежащих в $U(x_0, \delta)$, будем иметь $|a-f(x)|< \varepsilon$.

Очевидно, имеет место следующее предложение:

Теорема 2. Для того чтобы функция $f(x)$, определенная на множестве $E$, была непрерывна в данной точке $x_0 \in E$, необходимо и достаточно, чтобы она стремилась к некоторому пределу при приближении к точке $x_0$ по множеству $E$. Из наших определений следует, что этот предел (если он существует) равен $f(x_0)$.

В руководствах по классическому анализу предпочитают называть пределом функции $f(x)$ при приближении к точке $x_0$ то, что мы называем $\lim \limits_{x_0,\ E | x_0} f(x)$. При этой терминологии (от которой мы здесь отказываемся) приходится говорить, что функция $f(x)$ тогда и только тогда непрерывна в точке $x_0$, когда её значение в точке $x_0$ равно пределу функции $f(x)$ при $x$, стремящемся к $x_0$.

[Виктор Викторов]

Catcher of Souls в сообщении #214473 писал(а):

Цитата из книги П.С. Александрова «Введение в общую теорию множеств и функций»:

Цитата:

Определение 1. Пусть на множестве $E$ (лежащем в $R^1$ или в $R^2$) определена функция $f(x)$. Пусть $x_0$ есть предельная точка множества $E$ (принадлежащая или не принадлежащая множеству $E$). Мы называем число $a$ пределом функции $f(x)$ при $x$ стремящемся к $x_0$ по множеству $E$, и пишем $a=\lim\limits_{\frac{x \to x_0}{x \in E}} f(x)$ или $a=\lim\limits_{x_0, \ E}f(x)$, если для всякого $\varepsilon >0$ можно найти такое $\delta >0$, что для всех $x \in E$, лежащих в $U(x_0, \delta)$, будем иметь $|a-f(x)|< \varepsilon$.

Очевидно, имеет место следующее предложение:

Теорема 2. Для того чтобы функция $f(x)$, определенная на множестве $E$, была непрерывна в данной точке $x_0 \in E$, необходимо и достаточно, чтобы она стремилась к некоторому пределу при приближении к точке $x_0$ по множеству $E$. Из наших определений следует, что этот предел (если он существует) равен $f(x_0)$.

В руководствах по классическому анализу предпочитают называть пределом функции $f(x)$ при приближении к точке $x_0$ то, что мы называем $\lim \limits_{x_0,\ E | x_0} f(x)$. При этой терминологии (от которой мы здесь отказываемся) приходится говорить, что функция $f(x)$ тогда и только тогда непрерывна в точке $x_0$, когда её значение в точке $x_0$ равно пределу функции $f(x)$ при $x$, стремящемся к $x_0$.

Спасибо Catcher of Souls за то, что Вы выложили эту страницу на сайт. Мне этот текст непонятен. Может быть, кто-нибудь сможет разъяснить. Вот мои вопросы:
1. «принадлежащая или не принадлежащая множеству ». Так при определении предела в классическом смысле сама точка принадлежит области рассмотрения или нет? AD, ewert и особенно bot убедительно показали, что при классическом определении предела функции в точке $x\ne x_0$. Как этот факт совместить с этим текстом?
2. Мне просто не понятно, что же всё-таки утверждается в теореме 2. А уж, если кто-нибудь понимает, как это соотносится со всем, что мы знаем о непрерывности, то рад буду узнать это тоже.
3. К какой терминологии мы приходим и от какой отказываемся?

[terminator-II]

по-моему текст Александрова вполне понятный. его определение более гибкое, чем то, что здесь называют "классическим" и менее гибкое, чем предел по фильтру

Виктор Викторов в сообщении #214510 писал(а):

1. «принадлежащая или не принадлежащая множеству ». Так при определении предела в классическом смысле сама точка принадлежит области рассмотрения или нет? AD, ewert и особенно bot убедительно показали, что при классическом определении предела функции в точке $x\ne x_0$. Как этот факт совместить с этим текстом?

если , например, $E=\mathbb{R}$ то определение Александрова это определение предела в терминах обычных окрестностей, а не проколотых. ну и что? теперь просто несколько иначе формулируется связь между непрерывностью функции в точке и ее пределом

Виктор Викторов в сообщении #214510 писал(а):

2. Мне просто не понятно, что же всё-таки утверждается в теореме 2

Вы сами отмечали на примере, что предел разрывной функции по фильтру всех окрестностей не существует. вот и Александров об этом пишет

Виктор Викторов в сообщении #214510 писал(а):

3. К какой терминологии мы приходим и от какой отказываемся?

имхо: если мы не обсуждаем методику преподавания во втузе, лучше прийти к пределу по фильтру.
лучший текст по этому поводу написан Зоричем Мат. Анализ том 1

[Виктор Викторов]

terminator-II в сообщении #214534 писал(а):

по-моему, если мы не обсуждаем методику преподавания во втузе, лучше прийти к пределу по фильтру.

Уважаемый terminator-II!

Я с Вами полностью согласен по поводу фильтров. Ими пора уже начать активно пользоваться. По остальным вопросам Вы пишете, что текст Вам понятен. Пожалуйста, помогите его понять мне.

terminator-II в сообщении #214534 писал(а):

по-моему текст Александрова вполне понятный. его определение более гибкое, чем то, что здесь называют "классическим" и менее гибкое, чем предел по фильтру

Виктор Викторов в сообщении #214510 писал(а):

1. «принадлежащая или не принадлежащая множеству ». Так при определении предела в классическом смысле сама точка принадлежит области рассмотрения или нет? AD, ewert и особенно bot убедительно показали, что при классическом определении предела функции в точке $x\ne x_0$. Как этот факт совместить с этим текстом?

если , например, $E=\mathbb{R}$ то определение Александрова это определение предела в терминах обычных окрестностей, а не проколотых. ну и что? теперь просто несколько иначе формулируется связь между непрерывностью функции в точке и ее пределом

Как иначе? Мы помним, что фильтра у нас нет (с точки зрения определение Александрова). Как, например, раскручивать в этом случае Ваш пример:

terminator-II в сообщении #213073 писал(а):

Берем функцию $f(x)=0$ при $x\ne 0$ и $f(0)=1$.

terminator-II в сообщении #214534 писал(а):

Виктор Викторов в сообщении #214510 писал(а):

2. Мне просто не понятно, что же всё-таки утверждается в теореме 2

Вы сами отмечали на примере, что предел разрывной функции по фильтру всех окрестностей не существует. вот и Александров об этом пишет

Как написал я, понятие предела вообще можно не использовать при определении непрерывности (полный прообраз окрестности окрестность; где тут место пределу?). Предел нужен в вещественном случае при классификации разрывов. Но как понять Александрова, который пишет: «Для того чтобы функция … была непрерывна в данной точке $x_0 \in E$, необходимо и достаточно, чтобы она стремилась к некоторому пределу при приближении к точке $x_0$ … Из наших определений следует, что этот предел (если он существует) равен $f(x_0)$.»

Виктор Викторов в сообщении #214510 писал(а):

3. К какой терминологии мы приходим и от какой отказываемся?

имхо: если мы не обсуждаем методику преподавания во втузе, лучше прийти к пределу по фильтру.
лучший текст по этому поводу написан Зоричем Мат. Анализ том 1

Сейчас пойду смотреть Зорича. Я этой книги не знаю.

[id]

Довольно странно, но в "Общей топологии" Н. Бурбаки предел функции в точке определяется именно как предел по фильтру окрестностей, и утверждается, что непрерывность равносильна равенству этого предела значению функции в точке. Хотя, конечно, с оговорками на несуществование предела такое может и можно писать, но все равно нехорошо как-то.
"Общая топология, основные структуры" Глава I пар. 7 пункт 4 "Пределы и непрерывность". ( у меня это страница 102 )

[terminator-II]

Виктор Викторов в сообщении #214569 писал(а):

Как иначе? Мы помним, что фильтра у нас нет (с точки зрения определение Александрова). Как, например, раскручивать в этом случае Ваш пример:
terminator-II в сообщении #213073 писал(а):
Берем функцию $f(x)=0$ при $x\ne 0$ и $f(0)=1$.

по Александрову эта функция не имеет предела при $x\to 0$. это вполне согласуется с теоремой, которую он формулирует

-- Вс май 17, 2009 01:19:44 --

id в сообщении #214578 писал(а):

Довольно странно, но в "Общей топологии" Н. Бурбаки предел функции в точке определяется именно как предел по фильтру окрестностей, и утверждается, что непрерывность равносильна равенству этого предела значению функции в точке. Хотя, конечно, с оговорками на несуществование предела такое может и можно писать, но все равно нехорошо как-то.
"Общая топология, основные структуры" Глава I пар. 7 пункт 4 "Пределы и непрерывность". ( у меня это страница 102 )

а еще Энгелькинга посмотрите "Общая топология"

[Виктор Викторов]

id в сообщении #214578 писал(а):

Довольно странно, но в "Общей топологии" Н. Бурбаки предел функции в точке определяется именно как предел по фильтру окрестностей, и утверждается, что непрерывность равносильна равенству этого предела значению функции в точке. Хотя, конечно, с оговорками на несуществование предела такое может и можно писать, но все равно нехорошо как-то.
"Общая топология, основные структуры" Глава I пар. 7 пункт 4 "Пределы и непрерывность". ( у меня это страница 102 )

Уважаемый id!
Непрерывность определена в "Общей топологии" Н. Бурбаки на странице 30 и именно как я сказал. А вот позже после определения предела отображения по фильтру, несомненно, есть связь. Но никакие пределы не обязательны для рассмотрения непрерывности (при случае могут помочь).

[ura]

Было смешно читать эту тему)). По этому решил зарегистрироваться и ответить:
Сейчас все чаще используется такое определение предела:
(например в книге авторов - Зорич, Кудрявцев)
$\lim\limits_{x \to a} f(x) = b$, $f(x): I\to R $,$I\subset R $⇔ ∀ε>0, ∃δ(ε)>0, ∀x∈U(a,δ)∩I: f(x)∈V(b,ε)
Раньше (лет 20-30 назад добавляли условие $x\neq a$, т.е. было определение предела с проколотой окрестностью).
В чем различие? -
Доказательства всех теорем (за искл теоремы о пределе композиции) - одинаковые.
1) Рассмотрим функцию - (кусочно задана) $f(x): R\to R $
$\left\{ \begin{array}{l} f(x) = 1, при x \neq 1\\ f(x) = 0, при x = 1 \end{array} \right.$
Требуется найти $\lim\limits_{x \to 1} f(x) = ?$
Если определение предела с обычной окрестностью, то предела не существует. (это сразу следует из определения предела или критерия коши)
Если определение предела с проколотой окрестностью, то предел равен одному.
2) Рассмотрим множество E={a}. Найдем предел при $x \to a$
Если определение предела с обычной окрестностью, то предел равен a.
Если определение предела с проколотой окрестностью, то мы ничего не можем сказать о существовании предела. Он может как существовать, так и не существовать, т.к. в определении ∀x∈U(a,δ)∩E, $x\neq a$. А у нас нет таких точек.
3) Рассмотрим предел композиции$\lim\limits_{t \to \beta} f(g(\beta)) = b$, и $g(\beta)=a$, более того наша функция такова, что $g(\beta)\equiv a$.
В "старом" определении предела мы должны найти окрестность ∃U($\beta$) - проколотая!!! и $g(t)\neq a$. Таким образом, "старое" определение предела не работает. А новое работает.
4) Несколько различно определение непрерывности функции:
Со "старым" определением $f(x)$-непрерывна в точке $x=a$, если
∃$\lim\limits_{x \to a} f(x)$ и $\lim\limits_{x \to a} f(x) = b$;
В определении с обычной окрестностью
$f(x)$-непрерывна в точке $x=a$, если
∃$\lim\limits_{x \to a} f(x)$ ; т.е. не требуется равенства предела $b$, т.к. одно только существование предела означает его равенство $b$.
5) Изменена классификация точек разрыва (по понятным причинам).

Я только не пойму: Зачем писать определение предела по фильтру, если никто так и не смог разобраться с различием определением пределов?!
Потом в анализе используется предел по базе. Вводятся стандартные базы, как - окрестности, проколотые окрестности и т.д.
Cовсем как-то грустно на это все смотреть..

[Виктор Викторов]

ura в сообщении #421987 писал(а):

Я только не пойму: Зачем писать определение предела по фильтру, если никто так и не смог разобраться с различием определением пределов?!
Потом в анализе используется предел по базе. Вводятся стандартные базы, как - окрестности, проколотые окрестности и т.д.
Cовсем как-то грустно на это все смотреть..

Действительно смешно. Дело в том, что эти базы - базы фильтров. Я Вам отвечу позже подробно, а Вы подправите значки в своем комментарии, а то получились у Вас квадратики.

[Виктор Викторов]

ura в сообщении #421987 писал(а):

Было смешно читать эту тему)). По этому решил зарегистрироваться и ответить:
Сейчас все чаще используется такое определение предела:
(например в книге авторов - Зорич, Кудрявцев)
$\lim\limits_{x \to a} f(x) = b$, $f(x): I\to R $,$I\subset R $⇔ ∀ε>0, ∃δ(ε)>0, ∀x∈U(a,δ)∩I: f(x)∈V(b,ε)
Раньше (лет 20-30 назад добавляли условие $x\neq a$, т.е. было определение предела с проколотой окрестностью).
В чем различие? -
Доказательства всех теорем (за искл теоремы о пределе композиции) - одинаковые.

ura! Вы не удостоили нас исправлением квадратиков. Сделать это вынужден я (кусочно).

ura исправленный вариант писал(а):

Было смешно читать эту тему)). По этому решил зарегистрироваться и ответить:
Сейчас все чаще используется такое определение предела:
(например в книге авторов - Зорич, Кудрявцев)
$\lim\limits_{x \to a} f(x) = b$, $f(x): I\to R$, $I\subset R \Leftrightarrow \forall \epsilon>0, \exists \delta (\epsilon)>0, \forall x\in \cup (a, \delta) \cap I: f(x)\in V(b, \epsilon)$
Раньше (лет 20-30 назад добавляли условие $x\neq a$, т.е. было определение предела с проколотой окрестностью).
В чем различие? -
Доказательства всех теорем (за искл теоремы о пределе композиции) - одинаковые.

До того, как я полезу в определение предела функции через фильтры позвольте представить слегка другую точку зрения. Эта точка зрения идет от непрерывности к определению предела, а не наоборот. Поэтому сначала определение непрерывности в точке:
В топологических пространствах отображение непрерывно в точке $x_0{,}$ тогда и только тогда, когда полный прообраз каждой открытой окрестности точки $f(x_0)$ открыт. Поскольку множество действительных чисел – топологическое пространство, то это определение работает и для нашего случая. Как видите никаких пределов, баз и фильтров.
Теперь поставим вопрос: А если функция $f$ не непрерывна в точке $x_0$ (может быть, даже не определена), то можно ли определить новую функцию $g$ такую, что $g$ совпадает с $f$ в каждой точке кроме $x_0{,}$ а $g(x_0)$ выбрано так, что функция $g$ непрерывна в точке $x_0{?}$
Ответ очевиден: иногда такую функцию можно определить, а иногда нет. Так вот, если можно, то $g(x_0)$ и назовем пределом функции $f$ в точке $x_0$. Для единообразия, если функция $f$ непрерывна в точке $x_0{,}$ то будем считать пределом само значение $f(x_0)$. Формальное определение мне писать лень, но это весьма просто. А фильтры и базы у нас ещё впереди. Продолжение следует.

[ura]

Я написал в этой теме, т.к. увидел множество точек зрения.
На самом деле - для математика нужно понимать такие вещи, как окрестность и проколотая окрестность.
И разницу в определении предела в различных случаях.
Конкретно увидел фразы -
"Потому что тогда нет смысла в этом понятии - если функция непрерывная, то предел равен значению функции в точке, если же разрывная, то предела в любом случае нет."
"Ну просто потому, что предел функции не должен зависеть от значения функции в точке."
"Независимо от топологий -- предел это есть некоторая характеристика отображения при стремлении к чему-то. Именно эта формализация понятия "стремления" и интересна." - ))))))
"Как раз напротив - псевдоопределение абсолютно неинтересно с этой точки зрения, оно не может быть применимо к исследованию непрерывности функции, о чём уже говорили."

Потом я ответил на вопрос; Здесь надо понимать, что определение предела несколько различаются (берем мы проколотую или не проколотую окрестность).
Привел несколько примеров, которые наглядно показывают разницу.
Рекомендую почитать книги - Зорич Т1(например редакции 2007 года) и Кудрявцев (2009).
Кстати - Зорич - это учебник мехмата МГУ, очень полный, со множеством примеров.
А - Кудрявцев - довольно краткий учебник для физтеха (изначально). Но он тоже написан очень понятно.

У вас есть своя точка зрения на понятие предела. (насколько я понял - "то $g(x_0)$ и назовем пределом функции $f(x)$ в точке $x_0$" - соответствует определению с проколотой окрестностью). Это хорошо. Никто вам не мешает так определять предел.
Но есть конкретные определения во многих учебниках. И автор темы как раз задал вопрос - в чем отличие. Я ответил.

А про фильтры вы пожалуйста напишите.

[Виктор Викторов]

В учебниках по математическому анализу обычно встречаются два типа определений предела функции в точке: через последовательности и $\epsilon -\delta$ определение. $\epsilon -\delta$ определение даже в Фихтенгольце 1956 года именно с проколотой окрестностью. Иначе получается нечто «маловысокохудожественное». Теперь о фильтрах. Именно через фильтры было сделано весьма широкое обобщение понятия предела.
«Определение 1. Фильтром в множестве $X$ называют множество $T$ его подмножеств, обладающее следующими свойствами:
(F1) Всякое подмножество множества $X{,}$ содержащее множество из $T{,}$ принадлежит $T{.}$
(F2) Всякое пересечение конечного семейства множеств из $T$ принадлежит $T{.}$
(F3) Пустое подмножество множества $X$ не принадлежит $T{.}$» Н. БУРБАКИ «ОБЩАЯ ТОПОЛОГИЯ ОСНОВНЫЕ СТРУКТУРЫ» Страница 78.

А база фильтра $T$ это каждая его подсовокупность, такая что все надмножества этой подсовокупности и есть фильтр $T$. Теперь трагическая история. Жили были окрестности точек топологического пространства. Почему то многие считали, что в множестве вещественных чисел это только симметричные открытые интервалы – точка $3$ и её окрестность открытый интервал $(2, 4){.}$ Трагедия первая случилась, когда пришлось понять, что множество $(1, 4) \cup(7, 8)$ тоже окрестность точки $3{.}$ Но вторая трагедия была серьёзнее. Дело в том, что если взять все окрестности (открытые) некоторой точки, то эта совокупность как раз и будет базой некоторого фильтра. Пришлось переименовать окрестности (открытые) в открытые окрестности и назвать все элементы такого фильтра окрестностями данной точки. Не все перенесли этот факт судьбы легко. Вот пример: topic35991.html Итак, множество $[1, 4)$ стало окрестностью точки $3{,}$ а множество $(1, 4)$ её открытой окрестностью.
Первый сюрпризом было обобщение понятия предела последовательности. Пределом фильтра $T$ назвали такую точку топологического пространства, фильтр окрестностей которой является подсовокупностью фильтра $T{.}$ Также эту точку обозвали и пределом базы фильтра $T{.}$ (Это я подбираюсь к Зоричу). Естественно, была надежда, что образ фильтра при отображении есть фильтр. Это была не первая рухнувшая надежда. Достаточно рассмотреть постоянную функцию, чтобы понять, что образ фильтра при отображении не обязан быть фильтром. Но, к счастью, не только образ фильтра, но даже образ каждой базы фильтра есть в области прибытия база некоторого фильтра. Дальнейшее просто. Определение предела отображения по фильтру стало широким обобщением понятия предела функции в точке. Элемент $p$ области прибытия является пределом отображения по фильтру $F$ области определения, если фильтр $M{,}$ построенный на базе образа фильтра $F{,}$ содержит фильтр окрестностей элемента $p$.
Фокус в том, что фильтр в области определения может быть любым и это приводит к весьма разнообразным результатам (хорошо видно на примерах, которые предложил terminator-II). Теперь возникает вопрос: а как определение предела по фильтру соотносится со старым определением предела функции в точке? Просто соотносится. Хотелось бы взять фильтр окрестностей точки и рассмотреть фильтр, построенный на базе образа этого фильтра. Но делать этого нельзя, т. к. та самая точка может не входить в область определения. Что делать? По счастью совокупность всех проколотых окрестностей тоже фильтр, а его база (та самая которую рассматривает Зорич) –база фильтра проколотых окрестностей. Таким образом, предел функции в точке это частный случай предела по фильтру, а именно предел по фильтру проколотых окрестностей.

[ura]

Вы все верно сказали - встречаются два типа определений: по Гейне (через последовательности) и по Коши (через окрестности).
И есть утверждение (Теорема) о равносильности определений предела.
Действительно, в старых учебниках (вы привели пример Фихтенгольц 1956, а я добавлю еще ,например, Кудрявцев 1981) определение по Коши дается через проколотые окрестности.
Но в современных изданиях (последних лет десяти) определение предела дается с обычными окрестностями.
В современных изданиях объясняется - почему именно с обычными окрестностями, а не с проколотыми.
Цитирую Л.Д.Кудрявцев (Т1 2009год) - " В основе изложения лежит рассмотрение предела функции в точке не только по ее проколотой окрестности, а по любому множеству, содержащемуся в области задания функции. Это позволяет изучать функции глубже, чем при рассмотрении предела только по проколотой окрестности..."
Подробный сравнительный анализ с точки зрения различных определений предела функции содержится в статье L.D.Kydryavtsev "Introducihg limits at the undergraduate level" (1992год, №4, 517-525)
Хотя, некоторые примеры я уже показал.