определение предела функции

[Catcher of Souls]

Какую роль в определении предела функции играет условие $x_n \neq a$ при ${x_n} \to a$ (по Гейне) или $|x - a| > 0$ (по Коши)? Например, Л.Д. Кудрявцев в "Курсе математического анализа" исключает его для упрощения материала. Что правильно?

[Brukvalub]

Catcher of Souls в сообщении #212357 писал(а):

Какую роль в определении предела функции играет условие $x_n \neq a$ при ${x_n} \to a$ (по Гейне) или $|x - a| > 0$ (по Коши)?

Без этого условия, например, трудно определить характер разрывов функции, и т.п. То есть, это условие - существенно.

[xaxa3217]

Catcher of Souls писал(а):

Какую роль в определении предела функции играет условие $x_n \neq a$ при ${x_n} \to a$ (по Гейне) или $|x - a| > 0$ (по Коши)?

Потому что тогда нет смысла в этом понятии - если функция непрерывная, то предел равен значению функции в точке, если же разрывная, то предела в любом случае нет. При построениях непрерывной функции для какого-нибудь хитрого контрпримера часто используют следующий прием - берут за исходную ту, что определена явно за исключением конкретных точек (ну вроде $x*cos(\frac{1}{x})$ в нуле), затем функцию доопределяют в этих точках именно используя пределы в них, в итоге можно получить непрерывную функцию. А так смысл вроде и есть

[Виктор Викторов]

Во-первых, давайте не будем кокетничать и условие $|x - a| > 0$ запишем $x\neq a$.

Во-вторых, (и это главное) возможны обе точки зрения. Есть такая книга П. С. Александрова «Введение в общую теорию множеств и функций» издания 1948 года. В пятой главе этой книги этот вопрос и разбирается. Эта глава не вошла во второе издание. Если хотите, пришлите Ваш электронный адрес, я Вам скопирую пару страничек относящихся к этому вопросу.

[AD]

Ну просто потому, что предел функции не должен зависеть от значения функции в точке.

[Виктор Викторов]

Давайте сначала посмотрим в определение непрерывности в точке. В топологических пространствах отображение непрерывно в точке х, тогда и только тогда, когда полный прообраз каждой открытой окрестности точки f(х) открыт. В экзотических случаях, как известно, бывает всякое. Например, если топологическое пространство, область определения отображения, дискретное пространство (все подмножества открыты), то каждое отображение в каждой точке на этом пространстве непрерывно. Если же мы спустимся на числовую прямую, то заметим, что это определение есть почти определение Коши. Функция непрерывна в точке х, тогда и только тогда, когда полный прообраз каждой открытой окрестности точки f(х) открыт. Причём, необходимым условием непрерывности является, то, что функция определена в этой точке. Поэтому при рассмотрении непрерывности точка должна принадлежать промежутку. Как это ни парадоксально, для определения непрерывности в точке нам вообще не нужно понятие предела в точке. И функция в точке непрерывна или не непрерывна (разрывна). Что при этом невозможно, так это классификация разрывов. Вот тут уже нужно определение предела в точке. Но если рассматривать предел и при х=а возникает вопрос, а что делать если $y=x^2 при всех значениях где $x\neq 8$ и $y=25 при $x=8$. Поэтому AD, конечно, прав что «предел функции не должен зависеть от значения функции в точке».

[ewert]

он ещё хуже того прав. Независимо от топологий -- предел это есть некоторая характеристика отображения при стремлении к чему-то. Именно эта формализация понятия "стремления" и интересна. А уж что там будет в самой предельной точке, и по каким формальным причинам -- дело восемнадцатое.

[terminator-II]

предел функции в точке зависит от выбранного фильтра. проколотые окрестности -- один фильтр, непроколотые -- другой фильтр

[Виктор Викторов]

Catcher of Souls писал(а):

Какую роль в определении предела функции играет условие $x_n \neq a$ при ${x_n} \to a$ (по Гейне) или $|x - a| > 0$ (по Коши)? Например, Л.Д. Кудрявцев в "Курсе математического анализа" исключает его для упрощения материала. Что правильно?

ewert в сообщении #212870 писал(а):

он ещё хуже того прав. Независимо от топологий -- предел это есть некоторая характеристика отображения при стремлении к чему-то. Именно эта формализация понятия "стремления" и интересна. А уж что там будет в самой предельной точке, и по каким формальным причинам -- дело восемнадцатое.

Начали за здравие; кончили за упокой.
Вопрос-то был: что будет, если включить «точку стремления» в интервал. Я и попытался показать, что это интересно только при рассмотрении непрерывности в точке. При чём здесь «ещё хуже того прав»? А с тем, что «предел это есть некоторая характеристика отображения при стремлении к чему-то» никто не спорит. А вот идея что «А уж что там будет в самой предельной точке, и по каким формальным причинам -- дело восемнадцатое» срабатывает только, если смотреть на дело уж слишком формально, от непрерывности-то никуда не уйдёшь.

[Виктор Викторов]

terminator-II писал(а):

предел функции в точке зависит от выбранного фильтра. проколотые окрестности -- один фильтр, непроколотые -- другой фильтр

Поясните, пожалуйста. (И если можно, то и пример приведите). Я всегда думал, что сходящийся фильтр мажорирует (т. е. содержит) фильтр окрестностей точки к которой сходится.

[bot]

Виктор Викторов в сообщении #212995 писал(а):

Вопрос-то был: что будет, если включить «точку стремления» в интервал.

Ну давайте попробуем взять псевдоопределение предела, сняв ограничение $x\ne x_0$. Для простоты ограничимся всюду определенными вещественными функциями.

$\lim\limits_{x\to x_0} f(x)=a \ \iff \ (\forall \varepsilon > 0 )(\exists \delta > 0 )(|x-x_0|<\delta \Rightarrow |f(x)-a|<\varepsilon)$

Берём произвольное $\varepsilon > 0$ и находим $\delta>0$, для которого выполняется импликация $|x-x_0|<\delta \Rightarrow |f(x)-a|<\varepsilon$. Посылка импликации выполняется при $x=x_0$, следовательно должно выполняться заключение $|f(x_0)-a|<\varepsilon$. Таким образом получаем, что $(\forall \varepsilon > 0) \ (|f(x_0)-a|<\varepsilon)$. Каково постоянное неотрицательное число, которое меньше любого положительного? Только 0, то есть $f(x_0)=a$.
Иначе говоря никакое число, кроме значения функции в точке, не может согласно псевдоопределению быть пределом функции в точке, то есть ограничение можно снять только для непрерывной функции.

Цитата:

Я и попытался показать, что это интересно только при рассмотрении непрерывности в точке.

Как раз напротив - псевдоопределение абсолютно неинтересно с этой точки зрения, оно не может быть применимо к исследованию непрерывности функции, о чём уже говорили.

Пока писал, сообразил, что можно было ограничиться примером:

$f(x)=0$ при $x\ne 0$ и $f(0)=1$. Тогда согласно определению предела $\lim\limits_{x\to 0} f(x)=0$, а если пользоваться псевдоопределением, то предела нет.

[Виктор Викторов]

Уважаемый bot! М-да. Вам, не кажется ли, что мной написано ровно то же самое. Посмотрите приведённый мной пример (с параболой). Мне с Вами трудно спорить. Я согласен с каждой запятой, но я именно это и написал!

bot писал(а):

Цитата:

Я и попытался показать, что это интересно только при рассмотрении непрерывности в точке.

Как раз напротив - псевдоопределение абсолютно неинтересно с этой точки зрения, оно не может быть применимо к исследованию непрерывности функции, о чём уже говорили.

Под «это интересно только при рассмотрении непрерывности в точке» имелось ввиду определение непрерывности, а не определение предела!!

Хуже то что нечто очень странное напечатал П. С. Александров в книге «Введение в общую теорию множеств и функций» издания 1948 года на странице 174. Вот если бы у меня была возможность узнать Ваше мнение об этой странице.

[terminator-II]

Виктор Викторов писал(а):

terminator-II писал(а):

предел функции в точке зависит от выбранного фильтра. проколотые окрестности -- один фильтр, непроколотые -- другой фильтр

Поясните, пожалуйста. (И если можно, то и пример приведите). Я всегда думал, что сходящийся фильтр мажорирует (т. е. содержит) фильтр окрестностей точки к которой сходится.

Это все так, но я о другом.

Берем функцию $f(x)=0$ при $x\ne 0$ и $f(0)=1$. Если взять фильтр сходящийся к нулю и содержащий множество $\{0\}$, то предел функции по такому фильтру будет равен 1. Если взять фильтр сходящийся к нулю и содержащий проколотые окрестности нуля, то предел по такому фильтру будет равен 0.

[Catcher of Souls]

Понял, почему предел функции в точке не должен зависеть от ее значения в этой точке, спасибо за наглядный пример.

Виктор Викторов в сообщении #213018 писал(а):

Хуже то что нечто очень странное напечатал П. С. Александров в книге «Введение в общую теорию множеств и функций» издания 1948 года на странице 174.

Не могли бы вы привести цитату, что там написал П.С. Александров?

[Виктор Викторов]

Виктор Викторов писал(а):

а что делать если $y=x^2 при всех значениях где $x\neq 8$ и $y=25 при $x=8$. Поэтому AD, конечно, прав что «предел функции не должен зависеть от значения функции в точке».

bot писал(а):

Ну давайте попробуем взять псевдоопределение предела, сняв ограничение $x\ne x_0$. Для простоты ограничимся всюду определенными вещественными функциями.

$\lim\limits_{x\to x_0} f(x)=a \ \iff \ (\forall \varepsilon > 0 )(\exists \delta > 0 )(|x-x_0|<\delta \Rightarrow |f(x)-a|<\varepsilon)$

Берём произвольное $\varepsilon > 0$ и находим $\delta>0$, для которого выполняется импликация $|x-x_0|<\delta \Rightarrow |f(x)-a|<\varepsilon$. Посылка импликации выполняется при $x=x_0$, следовательно должно выполняться заключение $|f(x_0)-a|<\varepsilon$. Таким образом получаем, что $(\forall \varepsilon > 0) \ (|f(x_0)-a|<\varepsilon)$. Каково постоянное неотрицательное число, которое меньше любого положительного? Только 0, то есть $f(x_0)=a$.
Иначе говоря никакое число, кроме значения функции в точке, не может согласно псевдоопределению быть пределом функции в точке, то есть ограничение можно снять только для непрерывной функции.

terminator-II писал(а):

Берем функцию $f(x)=0$ при $x\ne 0$ и $f(0)=1$. Если взять фильтр сходящийся к нулю и содержащий множество $\{0\}$, то предел функции по такому фильтру будет равен 1. Если взять фильтр сходящийся к нулю и содержащий проколотые окрестности нуля, то предел по такому фильтру будет равен 0.

Я бы даже не брал «фильтр, сходящийся к нулю и содержащий проколотые окрестности нуля». Достаточно рассмотреть фильтр всех окрестностей нуля. А результат интересный.

Catcher of Souls писал(а):

Виктор Викторов в сообщении #213018 писал(а):

Хуже то что нечто очень странное напечатал П. С. Александров в книге «Введение в общую теорию множеств и функций» издания 1948 года на странице 174.

Не могли бы вы привести цитату, что там написал П.С. Александров?

Не могу. Нужна вся страница. Дайте, электронный адрес; пришлю копию.