определение предела функции

[Виктор Викторов]

У меня пятое издание Кудрявцева (2003 год). Вот это определение: «Определение 9. Точка $a$ называется пределом функции $f: X\to R$ при $x\to x_0$ (или, что то же, в точке $x_0{),}$ если для любой окрестности $U(a)$ точки $a$ существует такая окрестность $U(x_0)$ точки $x_0{,}$ что $f(X\cap U(x_0))\subset U(a){.}$» Страница 179.
С одной стороны, это называется кокетничать. Рассматриваем окрестность $U(x_0){,}$ и исключим точку $x_0$ с помощью пересечения с областью определения. А с другой стороны, это выглядит, как ошибка. Рассмотрим предел: $\lim\limits_{x\to 5}f(x)$

$$f(x)=\left\{\begin{array}{l}x, x\neq5 \\ 90, x=5\end{array}\right.$$

По определению Кудрявцева этот предел не будет равен пяти.

[ewert]

Пусть я покажусь холиваром, но с уверенностью скажу: при любом варианте определения предельную точку непременно необходимо выкалывать. Просто потому, что само понятие предела по самой своей природе предназначено для описания того, что происходит по мере приближения к этой самой точке. И никого не волнует (во всяком случае, не должно волновать), что такого конкретного случилось случайно в самой этой точке по формальным причинам.

[Виктор Викторов]

ewert! Если Вы собрались спорить, то не со мной. Я с Вами согласен.

[ewert]

(Оффтоп)

Я в данном случае конкретно с Вами не собирался спорить. Меня всего лишь удивило, что кто-то на полном сурьёзе решил не выкалывать. А в этой ветке -- речь вроде бы об этом (ну или я чего не понял). Вот я и высказал своё "фэ".

[Виктор Викторов]

"Полный сурьёз" у Кудрявцева, но мне кажется это просто ошибка. В случае непрерывности в той самой точке сработает, в случае, если функция в этой точке не определена, сработает (ведь пересекаем с областью определения), а как быть если значение "выпадает" (смотрите пример выше)? И, вообще, кому нужна эта возня?

[ewert]

(Оффтоп)

ну мне лично не нужна, просто любопытно

[Виктор Викторов]

(Оффтоп)

Из Вики "Отличительной чертой курсов матанализа Кудрявцева является нетрадиционное определение предела функции, позволяющее существенно упростить доказательства многих теорем." No comments.