Метод ортонормированных рядов для решения УРЧП

[ewert]

poisonous в сообщении #213621 писал(а):

Почему нельзя брать сразу двойной базис, и по х, и по у?

Можно запросто. Но -- только если все граничные условия однородны. Если же нет -- делайте их однородными указанной выше добавкой. С соотв. пересчётом правой части уравнения Пуассона. Ну и мучайтесь потом с разложением этой новой правой части в двойной ряд Фурье.

[poisonous]

А можно для особо "одаренных" на примере? Вот правильно ли я поняла:
1. Ищем решение моего уравнения в виде u=\sum\limits_{n=0}^\infty\sum\limits_{m=0}^\infty C_{mn} sin(\frac{n\pi x}{a}) cos(\frac{(2m-1)\pi y }{b}) - \frac{4b}{2a^2}x^2+\frac{4b}{2a}x, правильно я понимаю? Или как найти функцию, удовл. граничным условиям? И как теперь пересчитать правую часть? Помогите пожалуйста... А то завтра последний срок сдачи курсовой, а я все эту часть никак сделать не могу((((

[ewert]

Простейшая функция, удовлетворяющая Вашим граничным условиям -- это

$$\widetilde u=(ax-x^2)\cdot{b-y\over b}$$

. Если теперь

$$u=v+\widetilde u$$

, то для $v$ будут нулевые граничные условия и уравнение Пуассона

$$\Delta v={2\over b}(b-y)$$

, где

$${2\over b}(b-y)=-\Delta\widetilde u.$$

Вот теперь можете искать

$$v=\sum_{n,m=1}^{\infty}C_{nm}\sin{\pi nx\over a}\cdot\sin{\pi my\over b},$$

разложив

$${2\over b}(b-y)$$

в аналогичный ряд, что легко.

Это, конечно, если у Вас на всех стенках -- условия именно Дирихле (а именно их Вы с самого начала и называли). Откуда в Вашем ряде косинусы-то взялись? Они появились бы, только если б на горизонтальных стенках ставились условия Неймана, да и в этом случае аргументы косинусов неправильные.

[poisonous]

Насколько я поняла, мы же базис выбираем, исходя из граничных условий? Я посмотрела, что при x=0 и x=a u=0, что соответствует синусу, а при y=0 u=1, y=b, u=0, что соответствует косинусу...

[ewert]

poisonous в сообщении #213976 писал(а):

а при y=0 u=1, y=b, u=0, что соответствует косинусу...

Во-первых, не соответствует. Во-вторых, сформулируйте наконец свои граничные условия на всех четырёх стенках чётко и аккуратно.

[poisonous]

Граничные условия таковы: дан прямоугольник. на вертикальных сторонах $u=0$, при $y=b\ \ u=0$, при $y=0$ $u=\frac{4b}{2a^2}x^2-\frac{4b}{2a}x$

[ewert]

Ещё чётче, пожалуйста. Во-первых, это не все условия; во-вторых, выпишите их в четыре строчки.

(Я не придираюсь -- просто пока что получается испорченный телефон.)

[poisonous]

Даны только граничные условия.
$x=0$ $u=0$
$x=a$ $u=0$

$y=0$ $u=\frac{4b}{2a^2}x^2-\frac{4b}{2a}x$ ,т.е. парабола, проход. через 3 точки: (0,0), (a/2,b), (a,0)
$y=b$ $u=0$

[ewert]

Ну тогда ровно то, что я писал в сообщении #213969"], только надо умножить всё на

$${4b\over2a^2}$$

, но это никогда не поздно сделать (а вот знаки Вы перепутали).

[poisonous]

Спасибо большое! То есть я нахожу решение \widelilde u из уравнения Пуассона -\Delta \widelilde u=\frac{2}{b}(b-y) c нулевыми гр. усл, т.е. \widelilde u=\sum\sum \widelilde C_{mn} sin sin, где \widelilde C_{mn}=\int_0^a\int_0^b \frac{2}{b}(b-y)sin sin dydx А потом я ищу $v$, в которой коэффициенты C_{mn}=\int\int f(x,y)sin sin dx dy и решение исходной задачи u=\widelilde u + v? Теперь все верно?

[ewert]

Ничего не всё верно. Во-первых, знак в уравнении Вы опять перепутали. Во-вторых, при вычислении коэффициентов Фурье для правой части надо ещё делить на квадрат нормы. В-третьих, путаница с обозначениями функций $u$ и $v$. В-четвёртых, вся логика вывернута наизнанку. Для решения уравнения с однородными граничными условиями надо искать решение в виде

$$v=\sum_{n,m=1}^{\infty}C_{nm}\sin{\pi nx\over a}\cdot\sin{\pi my\over b},$$

формально подставить это выражение в левую часть под оператор Лапласа, явно вычислить разложение в ряд Фурье правой части и потом приравнять коэффициенты слева и справа. Вот тогда будет всё.

[poisonous]

СПАСИБО ВАМ ОГРОМНОЕ!!!! Вчера сдала курсовой на "отлично") Если бы не Вы, я не знаю, как бы я его делала/сдавала!!!!