Уравнение с параметром

[juna]

Хорошая шутка!
Вопрос: как решить задачу.
Ответ: устно. - практически универсальный метод.

[bot]

Нет, шутить не собирался - все дружно пролетели мимо очень простого замечания, которое действительно делает эту задачу устной.
Я тоже пролетел и после первых трёх сообщений отправлял следующее сообщение - ладно, пусть будет, не пропадать же трудам (жизнь научила перед отправкой сохранять):
Стартуем с уравнения $\sqrt{b+\sqrt{b+y}}=y$ с ограничениеми на переменную$y$, которое было у Руста.
Вводим новую неизвестную $z$ и получаем систему:
$z=\sqrt{b+y}$
$y=\sqrt{b+z}$
Возводя оба уравнения в квадрат и вычитая, получаем
$y-z=(z-y)(z+y)$
Отсюда $y=z}$ - вторую альтернативу $z+y = -1}$ исключает положительность переменных.
Теперь все искомые значения $b$ - это множество значений функции $y^2-y}$ на отрезке $[0,1]$, то есть $[-\frac{1}{4},0]$

Интернет гавкнулся ровно в тот момент, как я нажал на "отправить" и говорят, что его не было до самого ночера. Утром я своего сообщения не обнаружил. В принципе и его можно назвать устным, но есть ещё устнее.

[juna]

В целом Ваше решение красивое, но мне кажется, что предлагаемые здесь решения ему не уступают ни в красоте, ни в "устности" - придти к $b=y^2-y$ можно разными способами. Я получил бы удовольствие и от Вашего еще "устнее" - а то как-то стесняюсь читать Ваш забеленный текст, поэтому и написал в предыдущем посте в шутливой манере.

А задачку эту мне предложила одна школьница, ей на подготовительных курсах в институте ее задали, я решил как изобразил выше и получил резюме проверяющего - "искажение решения, нуль баллов". Они такие задачи решали графически. Я думаю, что придумывают такие задачи так, как мы их здесь решаем, а потом мучают школьников.

[bot]

Артамонов Ю.Н. писал(а):

Я получил бы удовольствие и от Вашего еще "устнее" - а то как-то стесняюсь читать Ваш забеленный текст ...

Опа, как-то не подумал о таких нюансах.

Ну тогда порчу сolor:

bot писал(а):

Далее уже устно можно.
[сolor=white]
Для строго монотонной функции f уравнения f(f(x))=x и f(x)=x равносильны, без разницы в какой области.
[/color]

А тут оказывается и для меня сюрприз - косячок остался после редактирования. Добавив слово "строго", забыл изменить монотонность на возрастание.

Проверяющий писал(а):

Искажение решения, нуль баллов

Нуль баллов проверяющему!

[Руст]

Так или иначе остается за бортом основание этого перехода. При выражении параметра через независимый параметр это основание легко проделывается выбором нужного знака перед квадратным корнем.

[bot]

Это Вы про $b=y^2-y$?
А что тут обосновывать? Я ведь не для первокуров писал.
Тем не менее все вешки расставлены, не так ли?

По необходимости из существования решения мы получили, что $y=\sqrt{b+y}$ при ограничениях $0\le y \le 1$, которые понятно как у Вас возникли, откуда $b=y^2-y$. Наоборот, если $b=y^2-y$ и $0\le y \le 1$ то $y=\sqrt{b+y}$.