2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Уравнение с параметром
Сообщение28.05.2006, 09:53 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


07/03/06
1898
Москва
Предлагаю участникам форума решить следующую школьную задачку, по-моему небезынтересную.
При каких $a$ данное уравнение имеет решения (имеется в виду действительные):
$\sqrt{3a+\sqrt{2x+3a-x^2}}=2x-x^2$

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение28.05.2006, 10:09 
Заслуженный участник


09/02/06
4382
Москва
Обозначим через y=2x-x^2,0\le y\le 1,b=3a,y^2\ge b$. Выражая b через у получаем: $b=\frac{2y^2+1-\sqrt{4y^2+1}}{2}$ монотонно растёт в зависимости от у. Отсюда получается область значений при которых имеется действительный корень:
$0\le a\le \frac{3-\sqrt 5 }{6}.$

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение28.05.2006, 10:58 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


07/03/06
1898
Москва
Ответ неверен.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение28.05.2006, 11:42 
Основатель
Аватара пользователя


11/05/05
4312
$a \in \{0, \frac13\} ? $

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение28.05.2006, 11:45 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


07/03/06
1898
Москва
Ответ неверен.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение28.05.2006, 11:56 
Основатель
Аватара пользователя


11/05/05
4312
Тогда
$a \in [-\frac{1}{12}, 0]$

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение28.05.2006, 11:58 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


07/03/06
1898
Москва
Это правильный ответ. Имеется красивое решение.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение28.05.2006, 12:11 
Основатель
Аватара пользователя


11/05/05
4312
Ну так давайте Ваше красивое решение. :) Я лишь исправил ошибочку у Руста. Причем, в процессе сам напортачил :)

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение28.05.2006, 13:27 
Заслуженный участник


09/02/06
4382
Москва
Потерял у, соответственно: $b=\frac{2y^2+1-\sqrt{4y^2+4y+1}}{2}=y^2-y$ принимает значения от 0 до -1/4. Соответственно x от -1/12 до 0. Причём если а принимает не крайние значения имеется ровно 4 различных корня для х.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение28.05.2006, 13:31 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


07/03/06
1898
Москва
Красивым, на мой взгляд, является следующее решение:
Пусть $2x-x^2=b$, тогда $0\leqslant  b \leqslant  1$.
Имеем $\sqrt{3a+\sqrt{3a+b}}=b$ или $\sqrt{3a+\sqrt{3a+\sqrt{3a+\sqrt{3a+..}}}}=b$ или $\sqrt{3a+b}=b$.
Таким образом, имеем уравнение $b^2-b-3a=0$, учитывая $0\leqslant  b \leqslant  1$, параметр $a$ есть функция от $b$ - $a(b)=\frac{b^2-b}{3}$, вершина этой параблы $b=\frac{1}{2}$, которой соответствует $a=-\frac{1}{12}$. Границам интервала $b=0$, $b=1$ соответствует $a=0$. Окончательно, получаем $-\frac{1}{12}\leqslant  a\leqslant  0$.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение28.05.2006, 13:55 
Заслуженный участник


09/02/06
4382
Москва
Не вижу разницы. А переход
Артамонов Ю.Н. писал(а):
Имеем $\sqrt{3a+\sqrt{3a+b}}=b$ или $\sqrt{3a+\sqrt{3a+\sqrt{3a+\sqrt{3a+..}}}}=b$ или $\sqrt{3a+b}=b$.

вообще говоря неверен. Он верен в данном случае, так как допольнительные корни исходного уравнения комплексные.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение28.05.2006, 17:28 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


07/03/06
1898
Москва
Давайте обсудим какие значения может принимать выражение вида: $\sqrt{a+b\sqrt{a+b\sqrt{a+b\sqrt{a+...}}}}$
Я нахожу, что при $b\geqslant{0}$ верно равенство $\sqrt{a+b\sqrt{a+b\sqrt{a+b\sqrt{a+...}}}}=\frac{b+\sqrt{b^2+4a}}{2}$

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение28.05.2006, 18:07 
Заслуженный участник


09/02/06
4382
Москва
Например такой переход неверен в этом случае:
$\sqrt{3a-\sqrt{3a-b}}=b$ или $\sqrt{3a-\sqrt{3a-\sqrt{3a-\sqrt{3a-..}}}}=b$ или $\sqrt{3a-b}=b$.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение28.05.2006, 18:43 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


07/03/06
1898
Москва
Я утверждал, что выражение $\sqrt{a+b\sqrt{a+b\sqrt{a+b\sqrt{a+...}}}}=\frac{b+\sqrt{b^2+4a}}{2}$ верно при $b\geqslant 0$, а у Вас как раз $b=-1$.
В целом корректность перехода нужно конечно обосновывать. Уравнение $\sqrt{3a+\sqrt{3a+b}}=b$ сводится к $b^4-2ab^2-b+a^2-a=0$, которое может иметь четное число действительных корней - либо нуль, либо два (в нашем случае), либо четыре - тогда мы таким переходом можем не поймать один корень. Но часть правильного диапазона для $a$ мы сможем указать. Поэтому принципиально неверного здесь ничего нет, зато красиво.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение29.05.2006, 07:18 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


21/12/05
5903
Новосибирск
Артамонов Ю.Н. писал(а):
Красивым, на мой взгляд, является следующее решение: ...
Есть ещё проще.
Руст писал(а):
Обозначим через y=2x-x^2,0\le y\le 1,...
Далее уже устно можно. :D
Для строго монотонной функции f уравнения f(f(x))=x и f(x)=x равносильны, без разницы в какой области.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 21 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group