Найти матрицу лин преобразования

[ozhigin]

Подпространство $W$ четырехмерного евклидова пространтсва задано в некотором ортонормированном базисе системой линейных уравнений. Найти в этом базисе матрицу линейного преобразования, заключающегося в ортогональном проектировании пространства на $W$, указать собств. числа и собств. векторы преобразования, описать его ядро и образ.

$ \left\{ \begin{array}{l} 2x_1-16x_2-7x_3-7x_4=0,\\ x_1-5x_2-2x_3-2x_4=0, \end{array} \right. $

Я, пользуясь методом Гаусса, привел систему к следующему виду
$x_3=u$
$x_4 = v$

$$ \mathbf{X} = \left( \begin{array}{ccc} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \\ x_{4} \end{array} \right) = \left( \begin{array}{ccc} -0.5 \\ -0.5 \\ 1 \\ 0 \end{array} \right) u + \left( \begin{array}{ccc} -0.5 \\ 0.5 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right) v$$

также $X = \alpha_1a_1+\alpha_2a_2+\alpha_3a_3+\alpha_4a_4$
$a1\in W$ , $a2\in W$

$$a_1 = \left( \begin{array}{ccc} -0.5 \\ -0.5 \\ 1 \\ 0 \end{array} \right) $$

$$a_2=\left( \begin{array}{ccc} -0.5 \\ 0.5 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right) $$

видно также то , что $a_3,a_4$ это соотвественно $ \left( \begin{array}{ccc} 2 \\ -16 \\ -7 \\ -7 \end{array} \right) $ и $ \left( \begin{array}{ccc} 1 \\ -5 \\ -2 \\ -2 \end{array} \right) $
что делать дальше?

[ewert]

Ваши первые два вектора -- это базис в $W$, который случайно оказался (о хвала Аллаху!) уже ортогональным. Но, между прочим, пока ещё не нормированным. Действие ортопроектора на подпространство сводится к сумме проекций вектора на каждый из базисных, для последних есть простая явная формула.

На остальные вопросы ответ универсален. Для любого ортопроектора на некоторое подпространство: собственные числа -- это нули и единицы, причём собственные векторы, отвечающие единицам -- это все элементы образа (т.е. самого исходного подпространства), а собственные векторы, отвечающие нулям -- это все элементы ядра (т.е. ортогонального дополнения к этому подпространству).

[VAL]

ewert в сообщении #213846 писал(а):

Ваши первые два вектора -- это базис в $W$, который случайно оказался (о хвала Аллаху!) уже ортогональным.

Кто-то из нас (Вы, я, ozhigin или Аллах) ошибся.

[ewert]

VAL в сообщении #213853 писал(а):

Кто-то из нас (Вы, я, ozhigin или Аллах) ошибся.

Ну я же не проверял арифметику. А если проверить -- то да, вектор $\vec a_1$ правилен, а вот $\vec a_2$ -- нет. Т.е. ортогональности не будет, и следующим шагом должна быть ортогонализация $\vec a_2$ к $\vec a_1$. Ну а далее по тексту.

[bot]

Дык, вектор $a_2$ не удовлетворяет системе. Чтобы воздать хвалу Аллаху, этот вектор надо заменить на $(1,1,1,-3)'$.

... Если я сам не ошибся в арифметике

ЗЫ. "неправильность" вектора - это неудовлетворённость им системы?

Уже стало привычным автоматическое склеивание постов, а его теперь нету - пришлось удалять (нехорошо на пустом месте счётчик накручивать) и пользоваться правкой.

[ewert]

bot в сообщении #213971 писал(а):

Дык, вектор $a_2$ не удовлетворяет системе. Чтобы воздать хвалу Аллаху, этот вектор надо заменить на $(1,1,1,-3)'$.

... Если я сам не ошибся в арифметике

Вроде не ошибся. Если в исходном втором векторе заменить ошибочный (+0.5) на правильное (-0.5), то после его ортогонализации к первому так и выйдет.

bot в сообщении #213971 писал(а):

(нехорошо на пустом месте счётчик накручивать)

Жалко, что ли? Пусть себе крутится, если не нарочно. Количество постов -- всё равно вещь достаточно условная. Меня вот, наоборот, раздражали синенькие буквы "Добавлено...". Потому, что одно из двух: или это действительно дополнение к предыдущему тексту, и тогда эти буковки нехороши; или реплика -- на другую тему, и тогда ещё хуже. Эстетически.