2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Найти матрицу лин преобразования
Сообщение14.05.2009, 09:30 
Подпространство $W$ четырехмерного евклидова пространтсва задано в некотором ортонормированном базисе системой линейных уравнений. Найти в этом базисе матрицу линейного преобразования, заключающегося в ортогональном проектировании пространства на $W$, указать собств. числа и собств. векторы преобразования, описать его ядро и образ.

$
\left\{ \begin{array}{l}
2x_1-16x_2-7x_3-7x_4=0,\\
x_1-5x_2-2x_3-2x_4=0,
\end{array} \right.
$

Я, пользуясь методом Гаусса, привел систему к следующему виду
$x_3=u$
$x_4 = v$
$$ \mathbf{X} = \left( \begin{array}{ccc} x_{1}  \\ x_{2}  \\ x_{3} \\ x_{4}  \end{array} \right)  = \left( \begin{array}{ccc} -0.5  \\ -0.5  \\ 1 \\ 0  \end{array} \right) u + \left( \begin{array}{ccc} -0.5  \\ 0.5  \\ 0 \\ 1 \end{array} \right) v$$

также $X = \alpha_1a_1+\alpha_2a_2+\alpha_3a_3+\alpha_4a_4$
$a1\in W$ , $a2\in W$

$$a_1 =  \left( \begin{array}{ccc} -0.5  \\ -0.5  \\ 1 \\ 0  \end{array} \right) $$ $$a_2=\left( \begin{array}{ccc} -0.5  \\ 0.5  \\ 0 \\ 1 \end{array} \right) $$

видно также то , что $a_3,a_4$ это соотвественно $ \left( \begin{array}{ccc} 2  \\ -16  \\ -7 \\ -7  \end{array} \right) $ и $ \left( \begin{array}{ccc} 1  \\ -5  \\ -2 \\ -2  \end{array} \right) $
что делать дальше?

 
 
 
 Re: Найти матрицу лин преобразования
Сообщение14.05.2009, 10:04 
Ваши первые два вектора -- это базис в $W$, который случайно оказался (о хвала Аллаху!) уже ортогональным. Но, между прочим, пока ещё не нормированным. Действие ортопроектора на подпространство сводится к сумме проекций вектора на каждый из базисных, для последних есть простая явная формула.

На остальные вопросы ответ универсален. Для любого ортопроектора на некоторое подпространство: собственные числа -- это нули и единицы, причём собственные векторы, отвечающие единицам -- это все элементы образа (т.е. самого исходного подпространства), а собственные векторы, отвечающие нулям -- это все элементы ядра (т.е. ортогонального дополнения к этому подпространству).

 
 
 
 Re: Найти матрицу лин преобразования
Сообщение14.05.2009, 10:20 
ewert в сообщении #213846 писал(а):
Ваши первые два вектора -- это базис в $W$, который случайно оказался (о хвала Аллаху!) уже ортогональным.
Кто-то из нас (Вы, я, ozhigin или Аллах) ошибся.

 
 
 
 Re: Найти матрицу лин преобразования
Сообщение14.05.2009, 10:30 
VAL в сообщении #213853 писал(а):
Кто-то из нас (Вы, я, ozhigin или Аллах) ошибся.

Ну я же не проверял арифметику. А если проверить -- то да, вектор $\vec a_1$ правилен, а вот $\vec a_2$ -- нет. Т.е. ортогональности не будет, и следующим шагом должна быть ортогонализация $\vec a_2$ к $\vec a_1$. Ну а далее по тексту.

 
 
 
 Re: Найти матрицу лин преобразования
Сообщение14.05.2009, 15:17 
Аватара пользователя
Дык, вектор $a_2$ не удовлетворяет системе. Чтобы воздать хвалу Аллаху, этот вектор надо заменить на $(1,1,1,-3)'$.

... Если я сам не ошибся в арифметике

ЗЫ. "неправильность" вектора - это неудовлетворённость им системы?

Уже стало привычным автоматическое склеивание постов, а его теперь нету - пришлось удалять (нехорошо на пустом месте счётчик накручивать) и пользоваться правкой.

 
 
 
 Re: Найти матрицу лин преобразования
Сообщение14.05.2009, 15:45 
bot в сообщении #213971 писал(а):
Дык, вектор $a_2$ не удовлетворяет системе. Чтобы воздать хвалу Аллаху, этот вектор надо заменить на $(1,1,1,-3)'$.

... Если я сам не ошибся в арифметике

Вроде не ошибся. Если в исходном втором векторе заменить ошибочный (+0.5) на правильное (-0.5), то после его ортогонализации к первому так и выйдет.

bot в сообщении #213971 писал(а):
(нехорошо на пустом месте счётчик накручивать)

Жалко, что ли? Пусть себе крутится, если не нарочно. Количество постов -- всё равно вещь достаточно условная. Меня вот, наоборот, раздражали синенькие буквы "Добавлено...". Потому, что одно из двух: или это действительно дополнение к предыдущему тексту, и тогда эти буковки нехороши; или реплика -- на другую тему, и тогда ещё хуже. Эстетически.

 
 
 [ Сообщений: 6 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group