Задача на точную верхнюю гарнь(помогите решить!)

[Dmitri7]

дана функция f(x). f(x)= 1/х когда х пренадлежит К и f(х)=х когда х не пренадлежит К. К- канторово множество. Найти ess sup f(x) , x пренадлежит [0;1]

[Brukvalub]

RIP в сообщении #49546 писал(а):

Измеримая функция $f(x)$ называется существенно ограниченной (пишут $f\in L_{\infty}(X,\mu)$, где $\mu$ - мера Лебега на измеримом пространстве $X$), если существует постоянная $C\ge0$ такая, что для почти всех $x\in X$ выполняется неравенство $|f(x)|\le C$. В таком случае наименьшая из таких постоянных называется существенной верхней гранью для функции $f$ и обозначается $\|f\|_{\infty}$.

P.S. Я могу ошибаться в деталях (просьба поправить меня, если это так), но смысл такой.

Добавлено спустя 14 минут 45 секунд:

Например, если рассмотреть функцию

$$f(x)=\begin{cases}x,&x\in\mathbb{Q};\\0,&x\in\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q},\end{cases}$$

то функция $f$ не будет ограниченной на $\mathbb{R}$, но будет существенно ограниченной на $\mathbb{R}$ (т.к. $f(x)=0$ почти всюду) и $\|f\|_{\infty}=0$

А какова мера Лебега Вашего Канторова множества?

[ewert]

Brukvalub писал(а):

RIP в сообщении #49546 писал(а):

Измеримая функция $f(x)$ называется существенно ограниченной (пишут $f\in L_{\infty}(X,\mu)$, где $\mu$ - мера Лебега на измеримом пространстве $X$), если существует постоянная $C\ge0$ такая, что для почти всех $x\in X$ выполняется неравенство $|f(x)|\le C$. В таком случае наименьшая из таких постоянных называется существенной верхней гранью для функции $f$ и обозначается $\|f\|_{\infty}$.

Неправильно писал (хотя пример правильный).

[Brukvalub]

Искал, искал в Сети определение существенной грани, чтобы не набирать самому, но так и не нашел.
Пришлось набирать: Число

\[\mathop {\inf }\limits_N \mathop {\sup }\limits_{x \in S\backslash N} \left| {f(x)} \right|\]

, гдн N пробегает всевозможные нуль-подмножества множества S, называется существенной верхней гранью функции

\[{f(x)}\]

на S.

[ewert]

вот-вот. Инфимума по всем множествам полной меры в явном виде тогда не прозвучало. А зачем сбивать народ с толку?...

[RIP]

ewert в сообщении #212086 писал(а):

Инфимума по всем множествам полной меры в явном виде тогда не прозвучало. А зачем сбивать народ с толку?...

Не знаю. Привёл стандартное, как мне казалось, определение. Оно почти совпадает с определением Brukvalubа, но, по-моему, должно быть проще для понимания (видимо, я ошибался); кроме того, для множества $S$ нулевой меры $\mathop {\inf }\limits_N \mathop {\sup }\limits_{x \in S\backslash N} \left| {f(x)} \right|=-\infty$, что не есть гуд.

[Dmitri7]

Brukvalub в сообщении #211977 писал(а):

А какова мера Лебега Вашего Канторова множества?

нулю равна. это вроде как и в свойствах канторова множества есть,да и определение существенной верхней грани(я такое нашел):
пусть функия f >0( или равна 0) измерима и существует такая константа С,что мера тех х ,при которых f(x)>C равна нулю:
m(мера){x пренадлежит E: f(x)>C}=0
и тогда f называется существенной ограниченной,а наименьшую из констант С-существенной верхней гранью.
тогда значит что в моем примере существенная верхняя грань равна 1

[Brukvalub]

Да.