Измеримая функция
![$f(x)$ $f(x)$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/9/9/7997339883ac20f551e7f35efff0a2b982.png)
называется существенно ограниченной (пишут
![$f\in L_{\infty}(X,\mu)$ $f\in L_{\infty}(X,\mu)$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/3/5/63588623f4de898bc340d651cf3daabe82.png)
, где
![$\mu$ $\mu$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/7/6/07617f9d8fe48b4a7b3f523d6730eef082.png)
- мера Лебега на измеримом пространстве
![$X$ $X$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/b/f/cbfb1b2a33b28eab8a3e59464768e81082.png)
), если существует постоянная
![$C\ge0$ $C\ge0$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/3/5/435ea2deb2539de02c3aebde108d7d7c82.png)
такая, что для почти всех
![$x\in X$ $x\in X$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/6/c/f6c4299940a91895633082ceb4df9c1982.png)
выполняется неравенство
![$|f(x)|\le C$ $|f(x)|\le C$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/a/8/ea8e8fb4322e6349b8479b12f0e2258082.png)
. В таком случае наименьшая из таких постоянных называется существенной верхней гранью для функции
![$f$ $f$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/9/0/190083ef7a1625fbc75f243cffb9c96d82.png)
и обозначается
![$\|f\|_{\infty}$ $\|f\|_{\infty}$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/6/0/960479625d48cea21f0cd5211676140282.png)
.
P.S. Я могу ошибаться в деталях (просьба поправить меня, если это так), но смысл такой.
Добавлено спустя 14 минут 45 секунд:Например, если рассмотреть функцию
![$$f(x)=\begin{cases}x,&x\in\mathbb{Q};\\0,&x\in\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q},\end{cases}$$ $$f(x)=\begin{cases}x,&x\in\mathbb{Q};\\0,&x\in\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q},\end{cases}$$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/7/1/c714fae26f51a095c69ebdac6525f95e82.png)
то функция
![$f$ $f$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/9/0/190083ef7a1625fbc75f243cffb9c96d82.png)
не будет ограниченной на
![$\mathbb{R}$ $\mathbb{R}$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/3/e/f3e711926cecfed3003f9ae341f3d92b82.png)
, но будет существенно ограниченной на
![$\mathbb{R}$ $\mathbb{R}$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/3/e/f3e711926cecfed3003f9ae341f3d92b82.png)
(т.к.
![$f(x)=0$ $f(x)=0$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/6/f/a6fc63aa1efb41cce557cf8cb517441f82.png)
почти всюду) и
![$\|f\|_{\infty}=0$ $\|f\|_{\infty}=0$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/c/2/6c259752264249bd703a112de9df523082.png)