Ряд из повторных интегралов

[Katay]

Столкнулась с таким преобразованием:
Дано неравенство
$0\leqslant f(s) \leqslant c \int_{0}^{s} (f(r)+g(r))dr$
Применяя его по цепочке, получаем:
$0\leqslant f(s) \leqslant c \int_{0}^{s} (f(r)+g(r))dr\leqslant c \int_{0}^{s} g(r)dr +c^2 \int_{0}^{s} \int_{0}^{r_1} (f(r_2)+g(r_2))dr_1dr_2 \leqslant $ $\leqslant \int_{0}^{s} g(r)dr +c^2 \int_{0}^{s} \int_{0}^{r_1} g(r_2)dr_1dr_2+... \leqslant...=\int_{0}^{s}cg(r)e^{c(s-r)}dr $

Подскажите, что применили чтобы свернуть ряд из повторных интегралов. Раньше с таким не встречалась . Посоветуйте, где можно почитать про это.

[Алексей К.]

Извините, но кроме книги 1892 г. ничего не вспоминается:
Byerly, W.E. Elements of the integral calculus. Ginn (1892).

До революции мы по ней учились, и там был похожий сюжет (в районе стр 133, сюжет о лог. спирали), и экспонента возникала в пределе от многократного интегрирования по схеме
$f_{i+1}(x)=\int\limits_0^x [L+f_i(\xi)] \mathrm{d}\xi$,
в чём легко убедиться; многократный интеграл от $f_0$ исчезнет в силу победы факториала на степенной ф-цией в выражениях типа $\frac{x^n}{n!}$.

Книгу (возможно, другое издание) можно сыскать на этом сайте.

Со старинными обозначениями разберётесь ($f\tau$ в смысле $f(\tau)$, $\mathrm{d}\tau^n$ вместо $(\mathrm{d}\tau)^n$): я же как-то переучился на ваши новые обозначения...

[Алексей К.]

Ха-ха, на эту книгу я уже ссылался на форуме (по другому поводу):

Алексей К. в сообщении #153692 писал(а):

Вот наугад взятый пример из книги 1892 г. (PDF может быть весьма тяжёлым).

[Katay]

Спасибо. Книгу нашла.
С тем что интеграл от функции $f(x)$ исчезает я разобралась.
Но как свернуть сумму
$\int_0^s g(r)dr+\int_0^s \int_0^r g(r_1)dr_1dr+\int_0^s \int_0^r \int_0^{r_1} g(r_2)dr_2dr_1dr+...$
так до меня и не дошло
Где там возникает ряд Тейлора для $e^x$ ?

[ИСН]

Бог с ней, с суммой. Сверните для начала один повторный интеграл. Вот этот: $\int_0^s \int_0^r g(r_1)dr_1dr$.

[ewert]

Т.е. поменяйте порядок интегрирования, после чего интеграл сведётся к однократному. А потом по индукции выведите формулу для произвольной кратности.

[Katay]

Спасибо! Вот теперь сообразила. Не догадалась сама поменять порядок интегрирования..

[Nxx]

Алексей К., а сколько тебе лет? За сотню перевалило?