Помогите (знакочередующийся ряд)

[rar]

Установить, является ли знакочередующийся ряд

$$\sum\limits_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})$$

сходящимся абсолютно, сходящимся условно или расходящимся.

Применим признак сходимости знакочередующегося ряда (признак Лейбница).

Сначала выясни каков предел:

$$\lim_{n\to\infty}(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})=\lim_{n\to\infty}\frac{(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})(\sqrt{n+1}+\sqrt{n})}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}=\lim_{n\to\infty}\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}=\lim_{n\to\infty}\frac{\frac{1}{\sqrt{n}}}{\sqrt{1+\frac{1}{n}}+\frac{1}{\sqrt{n}}}=\lim_{n\to\infty}\frac{0}{\sqrt{1+0}+0}=0$$

$$|\sqrt{n+1}-\sqrt{n}|>0$$

при любом существующим

$$n >= 1$$

Знак модуля можно отбросить.

Предположим

$$\sqrt{n+1}-\sqrt{n}>\sqrt{n+2}-\sqrt{n+1}$$

Возводим в квадрат и приводим подобные члены

$$\sqrt{(n+2)(n+1)}>\sqrt{n(n+1)}$$

Опять возведем в квадрат

$$n^2+3n+3>n^2+n$$

$$n>0$$

, значит предположение верно.
Отсюда следует, что абсолютные величины его членов монотонно убывают. Второе условие выполне
но.

Значит по Лейбницу - ряд сходится и сходится абсолютно.

Ответ: ряд

$$\sum\limits_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})$$

сходится абсолютно.

[Brukvalub]

rar в сообщении #213545 писал(а):

Предел равен нулю, значит данный ряд сходится.

Нет, это всего лишь значит, что Вы не знаете признака Лейбница.

[mkot]

А что значит абсолютная сходимость?

[ewert]

Brukvalub в сообщении #213549 писал(а):

Нет, это всего лишь значит, что Вы не знаете признака Лейбница.

Практически знает -- немонотонностей в природе не бывает, вот и в этом случае.

rar в сообщении #213545 писал(а):

А вот дальше-то как? Как установить тип сходимости?

А дальше молча. Вы ж уже переписали общий член ряда в виде $\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}$ -- с точностью до знака. Теперь откиньте знак (ну т.е. возьмите по модулю). Примените признак сравнения и затем интегральный -- и всё в кармане.

[rar]

Кое-что исправил. Еще разок посмотрите и помогите дальше разобраться.
Только нормально объясните про признак Лейбница.

Кстати, куда пропала инфа о теге math?

[ewert]

rar в сообщении #213559 писал(а):

Кое-что исправил.

В принципе -- напрасно исправил. Там отмазка гораздо более дешёвая. Если попытаться найти экстремумы модуля общего члена, то приравнивание производной нулю так или иначе даст некоторое алгебраическое уравнение. Которое в любом случае имеет лишь конечное количество решений. А значит, рано или поздно этот модуль станет монотонным. А больше ничего и не требовалось.

rar в сообщении #213559 писал(а):

Кстати, куда пропала инфа о теге math?

О-о, а что, и впрямь пропала?...

Если так, то это очень правильно. Ибо сей тег никому и нафиг не нужен. А вот вреда от него -- хватало.

[Jnrty]

ewert в сообщении #213556 писал(а):

Примените признак сравнения и затем интегральный -- и всё в кармане.

Не стоит. В исходном ряде $(-1)^{n+1}$ выкинем, получится ряд с положительными членами. Его частичные суммы вычисляются легко, предел - ещё легче.

rar в сообщении #213545 писал(а):

Возводим в квадрат и приводим подобные члены

Ну зачем так сложно. После того, как Вы перевели иррациональность в знаменатель, убывание дроби очевидно.

[rar]

Ну так еще разок посмотрите и скажите: верно сделано?

[ewert]

Jnrty в сообщении #213566 писал(а):

Его частичные суммы вычисляются легко, предел - ещё легче.

Вот честно скажу: я запретил себе думать, вычисляются эти частичные суммы или как. После того, как они тривиально оцениваются через ${1\over2\sqrt n}.$