Проверьте (числовые ряды)

[rar]

Исследовать на сходимость числовой ряд

$$\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{n^3}{2^n-n}$$

с положительными членами.

Решение:

Сравним данный ряд с рядом

$$\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{n^3}{2^n}$$

с помощью второго признака сравнения рядов. Но сначала предложенный ряд проверим на сходимость с помощью признака Даламбера.

$$u_n=\frac{n^3}{2^n},$$

$$u_{n+1}=\frac{(n+1)^3}{2^{n+1}}$$

$$D=\lim_{n\to\infty}\frac{u_{n+1}}{u_n}=\lim_{n\to\infty}\left[\frac{(n+1)^3}{2^{n+1}}:\frac{n^3}{2^n}\right]=\lim_{n\to\infty}\frac{(n+1)^3}{2n^3}=\frac{1}{2}\lim_{n\to\infty}\frac{n^3+3n^2+3n+1}{n^3}=\frac{1}{2}\lim_{n\to\infty}\left(1+3\frac{1}{n}+3\frac{1}{n^2}+\frac{1}{n^3}\right)=\frac{1}{2}$$

Так как

$$D<1$$

, то ряд

$$\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{n^3}{2^n}$$

- сходится.

Теперь применим второй признак сравнения:

$$\lim_{n\to\infty}\left(\frac{n^3}{2^n-n}:\frac{n^3}{2^n}\right)=\lim_{n\to\infty}\frac{2^n}{2^n-n}=\lim_{n\to\infty}\frac{1}{1-n/2^n}=1$$

Так как предел конечен и отличен от нуля и ряд

$$\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{n^3}{2^n}$$

сходится, то сходится и данный ряд

$$\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{n^3}{2^n-n}$$

.

Ответ: ряд

$$\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{n^3}{2^n-n}$$

сходится.

[mkot]

rar в сообщении #213070 писал(а):

(1)

$$\lim_{n\to\infty}\frac{n^3}{2^n}=\lim_{n\to\infty}\frac{1}{2^n/n^3}=0$$

.
(2) Данный ряд сходится.

Почему из (1) следует (2) ?
(Для ряда $\sum \frac1n$ тоже $\frac1n \to 0$, но он не сходится.)

[rar]

Блин. А как правильно надо, подскажите.

[mkot]

А какие признаки сходимости вы знаете?

[rar]

Первый, второй, Коши, Даламбера, интегральный.

[mkot]

А чем вас не устраивают Коши с Даламбером?

[rar]

Сейчас попробую.

[rar]

Честно, ума не прилажу как мне могут помочь Коши и Даламбер.

[mkot]

Ну сформулируйте признак, например, Даламбера. Затем запишите его для ряда $\sum \frac{n^3}{2^n}$.

[rar]

Так. Исправил. Посмотрите, пожалуйста.

Меня вот этот момент смущает немного:

$$\lim_{n\to\infty}\frac{1}{1-n/2^n}$$

.

$$n/2^n$$

я определил методом пристального взгляда. Можно ли его по человечески доказать - чтобы было видно, что он стремится к нулю?

[mkot]

Ну это упражнение 58 из Демидовича ).

Для доказательства, заметьте, что 2 = 1 + 1. ))
(Поползут биномиальные коэффициенты, забивая почти на все, оцените всё сверху чем-нибудь вида $\frac{2}{n-1}$.)

[rar]

На первый вопрос так и не ответили. Решил задачу правильно?

[mkot]

rar писал(а):

На первый вопрос так и не ответили. Решил задачу правильно?

А в каких моментах вы не уверены?

[rar]

Замяли. Спасибо.

[rar]

Вот как этот предел правильно вычислить:

$$\lim_{n\to\infty}\frac{n}{2^n}$$

?

// 12.05.09 тема «Помогите вычислить предел» присоединена к теме «Проверьте (числовые ряды)». / GAA