Вопрос-то был: что будет, если включить «точку стремления» в интервал.
Ну давайте попробуем взять псевдоопределение предела, сняв ограничение
![$x\ne x_0$ $x\ne x_0$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/e/f/6ef4d457a0b860b3e7bde6b10f0f604782.png)
. Для простоты ограничимся всюду определенными вещественными функциями.
![$\lim\limits_{x\to x_0} f(x)=a \ \iff \ (\forall \varepsilon > 0 )(\exists \delta > 0 )(|x-x_0|<\delta \Rightarrow |f(x)-a|<\varepsilon)$ $\lim\limits_{x\to x_0} f(x)=a \ \iff \ (\forall \varepsilon > 0 )(\exists \delta > 0 )(|x-x_0|<\delta \Rightarrow |f(x)-a|<\varepsilon)$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/d/f/7df5840412c3575ab542592bdc1e3db182.png)
Берём произвольное
![$\varepsilon > 0$ $\varepsilon > 0$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/0/f/f0f5983b609e1ccfdd0e1c27ac4b2e2882.png)
и находим
![$\delta>0$ $\delta>0$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/6/1/e61806b0d92d6e5141f65dbe7f6a038e82.png)
, для которого выполняется импликация
![$|x-x_0|<\delta \Rightarrow |f(x)-a|<\varepsilon$ $|x-x_0|<\delta \Rightarrow |f(x)-a|<\varepsilon$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/b/9/8b9633ebaf8e24b80c90960a0b50731a82.png)
. Посылка импликации выполняется при
![$x=x_0$ $x=x_0$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/6/c/86c471afe624d7aaf273cbc3c5720fd382.png)
, следовательно должно выполняться заключение
![$|f(x_0)-a|<\varepsilon$ $|f(x_0)-a|<\varepsilon$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/6/9/b692e1c3d537e20a60e847f1327d8fde82.png)
. Таким образом получаем, что
![$(\forall \varepsilon > 0) \ (|f(x_0)-a|<\varepsilon)$ $(\forall \varepsilon > 0) \ (|f(x_0)-a|<\varepsilon)$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/8/e/58e3fbfeb4075adf099672400351c64682.png)
. Каково постоянное неотрицательное число, которое меньше любого положительного? Только 0, то есть
![$f(x_0)=a$ $f(x_0)=a$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/7/f/07f8460fd40aaeda244a9b8389f917b282.png)
.
Иначе говоря никакое число, кроме значения функции в точке, не может согласно псевдоопределению быть пределом функции в точке, то есть ограничение можно снять только для непрерывной функции.
Цитата:
Я и попытался показать, что это интересно только при рассмотрении непрерывности в точке.
Как раз напротив - псевдоопределение абсолютно неинтересно с этой точки зрения, оно не может быть применимо к исследованию непрерывности функции, о чём уже говорили.
Пока писал, сообразил, что можно было ограничиться примером:
![$f(x)=0$ $f(x)=0$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/6/f/a6fc63aa1efb41cce557cf8cb517441f82.png)
при
![$x\ne 0$ $x\ne 0$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/2/9/5291133a11a5d4771646c35206b9bf5082.png)
и
![$f(0)=1$ $f(0)=1$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/a/7/da70e0667b49c09d25e6987df061052e82.png)
. Тогда согласно определению предела
![$\lim\limits_{x\to 0} f(x)=0$ $\lim\limits_{x\to 0} f(x)=0$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/1/a/c1a14edf16269aeb481b438d931b19d482.png)
, а если пользоваться псевдоопределением, то предела нет.