Комбинаторика, повторяющийся сочетания

[nbyte]

Здравствуйте.
Помогите пожалуйста понять, где я ошибаюсь.
Есть теорема

Цитата:

Уравнение $x_1+x_2+...+x_n=k$ имеет ${n+k-1\choose k}$ решений для целых положительных чисел

Пробую проверить
Например беру уравнение $x_1+x_2=k$
По формуле получаю, что число решений = 3.
Если все решения выразить как множество то оно будет выглядеть следующим образом (если я не ошибаюсь)
$(2,0),(0,2),(1,1)$
Видно что в самом деле их 3. Но мне непонятин следующий момент.
Если из определения $\bar C^k_n={n+k-1\choose k}$, то при $C^k_n$ элементы $(2,0),(0,2)$ означают один элемент. Из этого следует что множество решений должно быть $(2,0),(1,1)$ равно 2, что противоречит.
Помогите распутаться

[Brukvalub]

nbyte в сообщении #212540 писал(а):

Если из определения $\bar C^k_n={n+k-1\choose k}$, то при $C^k_n$ элементы $(2,0),(0,2)$ означают один элемент.

При чем здесь бузина, если дядька уже в Киеве?

[nbyte]

Если по другому вопрос поставить, то почему для подсчета не используются повторяющийся размещения?

[Brukvalub]

nbyte в сообщении #212559 писал(а):

Если по другому вопрос поставить, то почему для подсчета не используются повторяющийся размещения?

Давайте поставим вопрос еще чуть иначе: если Вы умеете использовать для такого подсчета

nbyte в сообщении #212559 писал(а):

повторяющийся размещения?

, то покажите здесь как это сделать.

[nbyte]

Цитата:

Например беру уравнение $x_1+x_2=k$

Я тут опечатку сделал.
Здесь $x_1+x_2=2$
$C^2_3 = 3$

[ewert]

nbyte писал(а):

Есть теорема

Цитата:

Уравнение $x_1+x_2+...+x_n=k$ имеет ${n+k-1\choose k}$ решений для целых положительных чисел

Нет такой теоремы. ${n+k-1\choose k}={n+k-1\choose n-1}$ -- это количество неотрицательных решений. А если положительных, то ${k-1\choose n-1}$.

nbyte писал(а):

элементы $(2,0),(0,2)$ означают один элемент.

$x_1=2,\ x_2=0$ -- это совсем другое решение, нежели $x_1=0,\ x_2=2.$

[nbyte]

А чем отличаются неотрицательные решения от положительных?

[nbyte]

У меня в учебнике написано следующие (ну так есть, извините если ерунду говорю)

Цитата:

Если $k \geqslant n$, то уравнение $x_1+x_2+...+x_n=k$ имеет ${k-1\choose n-1}$ число решений для натуральных чисел.

При этом принято считать, что $0 \notin \mathbb{N}$
Тогда выходит, что разница в существовании нуля?

[Brukvalub]

nbyte писал(а):

У меня в учебнике написано следующие (ну так есть, извините если ерунду говорю)

Цитата:

Если $k \geqslant n$, то уравнение $x_1+x_2+...+x_n=k$ имеет ${k-1\choose n-1}$ число решений для натуральных чисел.

При этом принято считать, что $0 \notin \mathbb{N}$
Тогда выходит, что разница в существовании нуля?

Вот такая, понимаешь, загогулина: оказывается, ноль не является положительным числом. Более того, он и отрицательным числом не является!

[nbyte]

Понял. Спасибо