периодические функции

[terminator-II]

ПРОСЬБА К МОДЕРАТОРАМ: не сливайте это сообщение в другую ветку plz.

Хочу предложить пару очень простых утверждений по мотивам другой ветки: topic21793.html


На олимпиадные задачи эти утверждения не тянут, просто действительно, если судить по цитированной ветке и сслкам в ней, то якобы это нигде в учебниках не написано. Что странно. Конечно гдет-то написано. И даже какой-то преподаватель средней школы далеко продвинулся в исследовании данных вопросов. Ну этого мы уж точно не потерпим

Пусть функции $f,g\in L^2_{loc}(\mathbb{R})$ периодичны с периодами $p$ и $q$ соответственно. Имеется ввиду следующее: $p=\inf\{t>0\mid f(x+t)= f(x)\quad \mbox {for almost all }x\}$.

Утв. 1 Если числа $p$ и $q$ линейно независимы над $\mathbb{Q}$ то функция $f+g$ не имеeт периода отличного от нуля.

Утв. 2 Пусть теперь $f,g\in H^1_{loc}(\mathbb{R})$. Если числа $p$ и $q$ линейно независимы над $\mathbb{Q}$ и
$f(x)g(x)\ne c_1+c_2 e^{i\lambda x}$
$c_1,c_2,\lambda$ -- константы,
то функция $f\cdot g$ не имеeт периода отличного от нуля.