неявный метод Эйлера с погрешностью на шаге

[Mishgun]

Здравствуйте! Подскажите, пожалуйста, как контролировать погрешность на шаге в неявном методе Эйлера при численном решении задачи коши $\left\{ y' = f(x,y(x)), x \in [a,b]$ $y(0) = y_0$. В интернете нашел следующую формулу для оценки погрешности на шаге: $\epsilon = \frac{u_n - u_{2n}}{2^{p-1}-1}$, где точность метода $O(h^{p+1})$. Верна ли формула и чему равно для данного метода p (p=0 ?) ? Хотелось бы еще ссылочку на книгу, где описывается данная проблема.

[ewert]

Верна. С точностью до путаницы с показателями: надо либо $O(h^p)$ (локальная погрешность) и тогда в знаменателе $2^{p-1}$, либо $O(h^p)$ -- это глобальная погрешность и тогда в знаменателе $2^{p}$.

Для метода Эйлера (что явного, что неявного) $p=1$ (глобально).

[Mishgun]

Спасибо большое! Все-таки, если у кого есть книга дайте ссылочку пожалуйста.

[ewert]

Хм. Единственное, что приходит в голову -- предложить почитать любую книжку по численным методам и поискать там слова "правило Рунге" (а это оно и есть).

И вовсе не обязательно применительно к методу Эйлера или даже к дифуравнениям вообще. Это правило работает всегда, когда погрешность метода имеет степенную асимптотику. Скажем, при просто численном интегрировании, когда (в отличие от решения дифуров) "явные" оценки погрешности вроде бы и есть, да вот только проку-то от них практически мало.

[Mishgun]

Всё, что нужно нашел в Вержбицком. Спасибо!