Как решать комплексные дифференциальные уравнения?

[ewert]

Алексей К. писал(а):

Что по-прежнему вызывает подозрения --- зачем свободный член уравнения записывать в таком виде?

Ну, если уж преподаватель удосужился заставить решать задачу столь экзотическим способом, то и свободный член мог ему взбрести в голову в сколь угодно удивительном виде.

[Basper]

Алексей К." в сообщении #212660 писал(а):

Basper писал(а):

Есть уравнение с комплексными переменными следующего вида:
$ \[ \frac{{d^2 y}} {{dx^2 }} + a \cdot \frac{{dy}} {{dx}} + b = c \cdot \frac{{\alpha \cdot \beta }} {\gamma } \] $

где, $ \[ y - \] $ комплексная функция.

$ \[ a,b,c - \] $ комплексные числа.

$ \[ \alpha ,\beta ,\gamma - \] $ - константы.

$y(x)$ в исходной задаче не фигурирует, что уже вызывало подозрения и было подтверждено автором. Что по-прежнему вызывает подозрения --- зачем свободный член уравнения записывать в таком виде?

По поводу свободного члена не понял? Уточните пожалуйста.
Еще непонятно то, что решали все время уравнения с комплексными функциями обычными способами, и не один преподаватель не говорил, что решать надо оказывается по другому. А тут тебе раз, и давай решай. В большинстве книг даже этого нет. По крайней мере из 10 книг в 2х только была какая-то информация по решению таких уравнений.

[Алексей К.]

Basper в сообщении #213539 писал(а):

По поводу свободного члена не понял? Уточните пожалуйста.

Уточняю:

Basper" в сообщении #212554 примерно следующее писал(а):

Есть уравнение с комплексными переменными следующего вида:

$$\dfrac{d^2 y}{dx^2 } + a \cdot \dfrac{dy}{dx} + \underbrace{b - c \cdot \dfrac{\alpha \cdot \beta }{\gamma }}_{d}=0 $$

Зачем вместо просто буковки, например, $d$, писать такой конгломерат?

[Basper]

Алексей К." в сообщении #213542 писал(а):

Basper в сообщении #213539 писал(а):

По поводу свободного члена не понял? Уточните пожалуйста.

Уточняю:

Basper" в сообщении #212554 примерно следующее писал(а):

Есть уравнение с комплексными переменными следующего вида:

$$\dfrac{d^2 y}{dx^2 } + a \cdot \dfrac{dy}{dx} + \underbrace{b - c \cdot \dfrac{\alpha \cdot \beta }{\gamma }}_{d}=0 $$

Зачем вместо просто буковки, например, $d$, писать такой конгломерат?

Просто как было, так я и написал

[Алексей К.]

Basper в сообщении #213582 писал(а):

Просто как было, так я и написал

Здесь часто призывают думать перед писанием. У меня самого не всегда получается.
Но Вы поняли ответ на свой вопрос?

[Basper]

Алексей К. в сообщении #213627 писал(а):

Basper в сообщении #213582 писал(а):

Просто как было, так я и написал

Здесь часто призывают думать перед писанием. У меня самого не всегда получается.
Но Вы поняли ответ на свой вопрос?

Ответ я понял, чему рад. Но, попробовал решить для начала линейное комплексное диф. уравнение. Получил систему, потом начались такие дебри, просто ужас. Вот и думаю, что будет, когда квадратное начну решать
Хоть новую тему по решению заводи

[ewert]

Господи, какие ещё там дебри. Решение: $y(x)=C_1e^{-ax}+C_2+A\,x,$ где неопределённый коэффициент $A$ мгновенно находится подстановкой частного решения $A\,x$ в уравнение.

[Basper]

ewert в сообщении #214034 писал(а):

Господи, какие ещё там дебри. Решение: $y(x)=C_1e^{-ax}+C_2+A\,x,$ где неопределённый коэффициент $A$ мгновенно находится подстановкой частного решения $A\,x$ в уравнение.

Дебри примерно такого плана:
Есть комплексное уравнение следующего вида:
$ \[ \frac{{db(t)}}{{dt}} + \frac{1}{\tau }b(t) = \frac{{i \cdot h \cdot a}}{{T \cdot \sqrt {1 - h^2 } \cdot e^{ - \alpha - i\phi } }} \] $

Начальные условия:
$ \[ \begin{array}{l} b(t = 0) = 0 \\ \frac{{db(t = 0)}}{{dt}} = 0 \\ \end{array} \] $

Также:
$ \[ \begin{array}{l} b = x + iy \\ \frac{1}{\tau } = \mu + i\nu \\ \end{array} \] $

Распишем правую часть уравнения:
$ \[ \frac{{i \cdot h \cdot a}}{{T \cdot \sqrt {1 - h^2 } \cdot e^{ - \alpha - i\phi } }} = \frac{{ - h \cdot a \cdot e^\alpha \cdot \sin \phi }}{{T \cdot \sqrt {1 - h^2 } }} + i \cdot \frac{{h \cdot a \cdot e^\alpha \cdot \cos \phi }}{{T \cdot \sqrt {1 - h^2 } }} \] $

Далее все подставим и получим следующее:
$ \[ \frac{{dx}}{{dt}} + i\frac{{dy}}{{dt}} + (\mu x - \nu y) + i(\nu x + \mu y) = \frac{{ - h \cdot a \cdot e^\alpha \cdot \sin \phi }}{{T \cdot \sqrt {1 - h^2 } }} + i \cdot \frac{{h \cdot a \cdot e^\alpha \cdot \cos \phi }}{{T \cdot \sqrt {1 - h^2 } }} \] $

Отсюда получаем систему уравнений:
$ \[ \left\{ \begin{array}{l} \frac{{dx}}{{dt}} + (\mu x - \nu y) = \frac{{ - h \cdot a \cdot e^\alpha \cdot \sin \phi }}{{T \cdot \sqrt {1 - h^2 } }} \\ \frac{{dy}}{{dt}} + (\nu x + \mu y) = \frac{{h \cdot a \cdot e^\alpha \cdot \cos \phi }}{{T \cdot \sqrt {1 - h^2 } }} \\ \end{array} \right. \] $

Ее решение есть два корня:
$ \[ \begin{array}{l} \lambda _1 = - \mu + i\nu \\ \lambda _2 = - \mu - i\nu \\ \end{array} \] $

Соответственно общее решение:
$ \[ \begin{array}{l} x_1 = C_1 \cdot e^{\lambda _1 t} ,y_1 = C_2 \cdot e^{\lambda _1 t} \\ x_2 = C_3 \cdot e^{\lambda _2 t} ,y_2 = C_4 \cdot e^{\lambda _2 t} \\ \end{array} \] $

Далее используя метод вариации постоянной, подставляем $ \[ x_1 \] $ и $ \[ y_1 \] $
в систему и пытаемся определить константы. После подстановки в систему:
$ \[ \left\{ \begin{array}{l} \frac{{dC_1 (t)}}{{dt}} + C_1 (t) \cdot (\lambda _1 + \mu ) - C_2 (t) \cdot \nu = \frac{{ - h \cdot a \cdot e^\alpha \cdot \sin \phi }}{{T \cdot \sqrt {1 - h^2 } }} \\ \frac{{dC_2 (t)}}{{dt}} + C_1 (t) \cdot \nu + C_2 (t) \cdot (\lambda _1 + \mu ) = \frac{{h \cdot a \cdot e^\alpha \cdot \cos \phi }}{{T \cdot \sqrt {1 - h^2 } }} \\ \end{array} \right. \] $

После этого не могу понять, что делать дальше. Также непонятно как использовать начальные условия. Верно ли что
$ \[ b(t = 0) = 0 \to x = 0,y = 0 \] $?

[ewert]

Ну и что Вы мучаетесь? Прежде всего, обозначьте всю правую часть через $\beta$. Выпишите общее решение как

$$b(t)=C\,e^{-t/\tau}+\tau\cdot\beta$$

(где $C$ -- комплексная произвольная постоянная и $\tau\cdot\beta$ -- вполне очевидное частное решение неоднородного уравнения).

С начальными условиями у Вас явный перебор -- уравнение-то первого порядка. А если $b(0)=0,$ то $C=-\tau\beta,$ т.е.

$$b(t)=\tau\beta\left(1-e^{-t/\tau}\right).$$

Потом, если уж очень приспичит, $\tau$ и $\beta$ можно и расшифровать.

[Basper]

ewert в сообщении #214400 писал(а):

Ну и что Вы мучаетесь? Прежде всего, обозначьте всю правую часть через $\beta$. Выпишите общее решение как

$$b(t)=C\,e^{-t/\tau}+\tau\cdot\beta$$

(где $C$ -- комплексная произвольная постоянная и $\tau\cdot\beta$ -- вполне очевидное частное решение неоднородного уравнения).

С начальными условиями у Вас явный перебор -- уравнение-то первого порядка. А если $b(0)=0,$ то $C=-\tau\beta,$ т.е.

$$b(t)=\tau\beta\left(1-e^{-t/\tau}\right).$$

Потом, если уж очень приспичит, $\tau$ и $\beta$ можно и расшифровать.

Мучаюсь потому что не понимаю до конца смысл комплексных дифференциальных уравнений. Так, как Вы показали, я решил данную задачу. Но решить ее, используя разложение комплексной функции не получается. Получил систему, а что дальше - непонятно...
По поводу начальных условий согласен.
Да и вообще не понимаю смысл такого разложения функции.

А почему я парю себе мозг, потому что сказали решить задачу, как я описал выше, то есть с разложением всего комплексного и решить в последствии систему уравнений.

[ewert]

Ну хорошо, имеем систему:

$$ \left\{ \begin{array}{l} \frac{dx}{dt} + \mu x - \nu y = \beta, \\ \frac{dy}{dt} + \nu x + \mu y = \gamma. \end{array} \right. $$

Начальные условия:
$x(0)=0, \quad y(0)=0.$

Плюс к этому:
$x'(0)=\beta, \quad y'(0)=\gamma$
(получаются подстановкой предыдущих условий в систему) -- понадобятся для дальнейшего, т.к. получится уравнение 2-го порядка.

Выражаем $y$ из первого уравнения и подставляем во второе:

$${1\over\nu}(x'+\mu x-\beta)'+\nu x+{\mu\over\nu}(x'+\mu x-\beta)=\gamma;$$

$$x''+2\mu x'+(\mu^2+\nu^2)x=\mu\beta+\nu\gamma.$$

Общее решение однородного уравнения:

$$x_{oo}(t)=e^{-\mu t}\left(C_1\cos(\nu t)+C_2\sin(\nu t)\right),$$

где $C_1,\ C_2$ -- вещественные произвольные постоянные.

Частное решение неоднородного уравнения:

$$\widetilde x(t)={\mu\beta+\nu\gamma \over \mu^2+\nu^2}.$$

Складываем, подставляем начальные данные, находим константы, выражаем $y(t)$ через найденное $x(t)$.

Несложно, но занудно.

[Basper]

В целом понятно, но не понял как получили вот это :

ewert в сообщении #214409 писал(а):

............
Частное решение неоднородного уравнения:

$$\widetilde x(t)={\mu\beta+\nu\gamma \over \mu^2+\nu^2}.$$

.......................................

Я так понимаю, что частное решение получаем, когда подставляем начальные условия.

[ewert]

Basper в сообщении #214573 писал(а):

Я так понимаю, что частное решение получаем, когда подставляем начальные условия.

Нет. Имелось в виду стандартное для линейных задач утверждение: общее решение неоднородного уравнения есть сумма общего решения соотв. однородного уравнения и какого-нибудь частного решения неоднородного. В данном случае правая часть есть константа, т.е. относится к разряду "стандартных". Поэтому и частное решение тоже ищем в виде константы: $\widetilde x(t)=A,$ и после подстановки в уравнение мгновенно находим. Ну и окончательно общее решение: $x(t)=x_{oo}(t)+\widetilde x(t).$

[terminator-II]

мне тут пришел в голову простой ответ на вопрос: "Как решать комплексные дифференциальные уравнения?" -- решить так как будто все букавки -- действительные числа, а в окончательном ответе, в самой формуле, считать, что они комплексные. Есть ,конечно, нюансы. Но в данном случае пройдет.

[ewert]

Автор, как я понял, вполне умеет решать уравнения, не обращая внимания на комплексность букавок. Его смущает именно сведение комплексных уравнений к системам вещественных (которое, конечно, никому практически не нужно, но отчего ж и не полюбопытствовать).