Интересный результат теории чисел

[arseniiv]

Это я вывел с помощью Mathematica (наверно, и без меня давно выведено, но формула интересная), хотя строгого доказательства не знаю.

$$ 0,(n_b )_b = {n \over {b^{\left\lfloor {\log _b n} \right\rfloor + 1} - 1}} $$

$ 0,(n_b )_b $ означает чисто периодическую дробь в с. счисл. с основанием b, период которой можно записать числом n (в этой же с. счисл.).

Например,

$$ 0,(90)_{10} = {{90} \over {10^{\left\lfloor {\lg 90} \right\rfloor + 1} - 1}} = {{90} \over {100 - 1}} = {{90} \over {99}} = {{10} \over {11}} $$

$$ 0,(10)_2 = {2 \over {2^{1 + 1} - 1}} = {2 \over 3} $$

Скажите что-нибудь по этому поводу...

[Xaositect]

Пусть $l_b(n)$ - длина записи числа $n$ в $b$-ичной с.с.
$0.(n)_b \cdot b^{l_b(n)} = n.(n)_b$
$0.(n)_b \cdot (b^{l_b(n)}-1) = n$
$0.(n)_b = \frac{n}{b^{l_b(n)}-1}$
Осталось толко показать, что $l_b(n) = \lfloor \log_b n\rfloor +1$. Это просто.

Дискуссионного ничего не вижу. Этот прием рассказывается(применительно к десятичной системе, разумеется) в третьем классе средней школы.

[arseniiv]

Я доказал её! Это было легко.

Введём функцию $ {\mathop{\rm digits}\nolimits} _b n = \left\lfloor {\log _b n} \right\rfloor + 1 $, которая показывает кол-во знаков в целой части данного числа, а дальше

$$ 0,(n_b ) = n \cdot 0,(\underbrace {0 \ldots 01}_{{\mathop{\rm digits}\nolimits} _b n}) = {n \over {b^{{\mathop{\rm digits}\nolimits} _b n} - 1}} = {n \over {b^{\left\lfloor {\log _b n} \right\rfloor + 1} - 1}} $$

Добавлено спустя 1 минуту 35 секунд:

Просто я думал, что в "помогите решить" тоже это не поместить. А вдруг там какое-нибудь обобщение есть.
Ну, по крайней мере, формулу проверили

Добавлено спустя 1 минуту 17 секунд:

Xaositect, а почему у вас логарифм округляется сверху, а не снизу??

[Xaositect]

arseniiv в сообщении #212471 писал(а):

Xaositect, а почему у вас логарифм округляется сверху, а не снизу??

Перепутал знаки.

[arseniiv]

Xaositect писал(а):

Этот прием рассказывается(применительно к десятичной системе, разумеется) в третьем классе средней школы.

Ну, не думаю, что в третьем, конечно. В третьем ещё дроби не проходят, и десятичное представление их

Добавлено спустя 3 минуты 56 секунд:

Просто у меня нет книг по теории чисел (больше по системам счисления), посоветуйте какую-нибудь? Буду свои "результаты" с книгой сравнивать тогда

[Xaositect]

arseniiv в сообщении #212473 писал(а):

Просто у меня нет книг по теории чисел (больше по системам счисления), посоветуйте какую-нибудь? Буду свои "результаты" с книгой сравнивать тогда

Я теории чисел не знаю, так что не могу ничего кроме Виноградова посоветовать.

[arseniiv]

Может, кто-нибудь ещё сюда заглянет. И хотелось бы, в таком случае, электронный вариант

Добавлено спустя 2 минуты 34 секунды:

Имелся в виду Виноградов, Виктор Владимирович? А то другого я в поиске не найду, а этот не математик...

[ewert]

Вообще-то имелся в виду Иван Матвеевич.

[Xaositect]

arseniiv в сообщении #212480 писал(а):

Имелся в виду Виноградов, Виктор Владимирович? А то другого я в поиске не найду, а этот не математик...

Имелся в виду Виноградов Иван Матвеевич.
Виноградов И.М. — Основы теории чисел

[Schraube]

У Виноградова этого нет - слишком просто.
Посмотрите в учебниках (хороших) для пединститутов. Лучше старых.
В дореволюционных гимназиях это преподавалось.
Поищите по книгам в библиотеке www.mccme.ru

[arseniiv]

Ну, я таких не найду... Но всё равно спасибо

[RIP]

Можно глянуть книгу Гашков С.Б., Чубариков В.Н. — Арифметика. Алгоритмы. Сложность вычислений (можно через poiskknig.ru поискать). Там вроде бы в $\S6$ среди прочего обсуждается представление рациональных чисел в виде десятичных дробей (я сам не читал). Для дробей с другим основанием делается аналогично.