Сходимость интеграла

[Brukvalub]

Кирилл Бондарев в сообщении #212393 писал(а):

А как же тогда ответить на исходный вопрос?

Brukvalub в сообщении #212370 писал(а):

Это сразу следует прямо из определения сходимости несобственного интеграла.

[Кирилл Бондарев]

Я правильно понимаю?

$\int\limits_{-\infty} ^{-R} f(x)=lim\limits_{a \to -\infty} \int\limits_{a} ^{-R} f(x) $

[ewert]

Понимаете правильно, но ненужно -- для ответа на исходный вопрос это ничего не даёт.

Что касается сходимости. Во-первых, после отбрасывания экспоненты интеграл уже берётся явно. Во-вторых, если лень возиться с арктангенсами (а должно быть лень), то можно эту функцию дополнительно ещё огрубить, оценив через

$${{\rm const}\over\xi^2}.$$

После чего сходимость уже совсем тривиальна.

[Кирилл Бондарев]

Значит, полный ответ на этот вопрос будет следующим:

несобственный интеграл сходится, если его подынтегральная функция является ограниченной.
и затем показать ограниченность функции...

так?

[terminator-II]

почему бы вам, коллеги, просто не отправить молодого человека к определенным страницам учебника?

[ewert]

Кирилл Бондарев в сообщении #212399 писал(а):

Значит, полный ответ на этот вопрос будет следующим:

несобственный интеграл сходится, если его подынтегральная функция является ограниченной.

о хоссподи -- нет, конечно. Несобственный интеграл сходится, если он сходится в соответствии с определением сходимости. Точка. Ну а потом уж всякие признаки сходимости. И не пытайтесь уверить, что у Вас этих признаков не было.

-------------------------------------------------------------------------
Кстати, насчёт ТФКП. Да, скорее всего, у Вас её ещё не было. Но ведь формула-то Эйлера точно была. И показательная форма записи комплексного числа -- тоже. И, следовательно, Вы обязаны помнить, что модуль "мнимой экспоненты" есть единица.

Добавлено спустя 4 минуты 10 секунд:

terminator-II в сообщении #212401 писал(а):

просто не отправить молодого человека к определенным страницам учебника?

это модно, но тут проблема: какого конкретно учебника?... И потом, товарищ в идеологии плавает, а тут странички не помогут.

[terminator-II]

ewert в сообщении #212402 писал(а):

какого конкретно учебника?

Зорича, Кудрявцева, который лежит ближе

ewert в сообщении #212402 писал(а):

И потом, товарищ в идеологии плавает

вот именно, даже определений не знает

ewert в сообщении #212402 писал(а):

тут странички не помогут

Вы же не сможете ему он-лайн лекцию задвинуть -- букаф многа

[Кирилл Бондарев]

ewert писал(а):

о хоссподи -- нет, конечно. Несобственный интеграл сходится, если он сходится в соответствии с определением сходимости. Точка. Ну а потом уж всякие признаки сходимости. И не пытайтесь уверить, что у Вас этих признаков не было.

-------------------------------------------------------------------------
Кстати, насчёт ТФКП. Да, скорее всего, у Вас её ещё не было. Но ведь формула-то Эйлера точно была. И показательная форма записи комплексного числа -- тоже. И, следовательно, Вы обязаны помнить, что модуль "мнимой экспоненты" есть единица.

про экспоненту согласен - это мой пробел...

про признаки тоже согласен - матанализ был))

но вот применить это все к одной этой задаче довольно тяжело. просто преподаватель, как и Brukvalub, сказал, что сходимость исходного интеграла будет напрямую следовать из определения сходимости... А как - я не понимаю....

[Brukvalub]

terminator-II в сообщении #212401 писал(а):

почему бы вам, коллеги, просто не отправить молодого человека к определенным страницам учебника?

А что мешает Вам сделать это самому?
"Мы не рабы, рабы не мы"

[Кирилл Бондарев]

Brukvalub
огромная просьба... объясните, как из определения сходимости следует то, что мне нужно доказать?

[terminator-II]

Brukvalub писал(а):

terminator-II в сообщении #212401 писал(а):

почему бы вам, коллеги, просто не отправить молодого человека к определенным страницам учебника?

А что мешает Вам сделать это самому?
"Мы не рабы, рабы не мы"

http://www.poiskknig.ru/cgi-bin/poisk.c ... &network=1
Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа (том 1) 1981
стр511; 523

[Brukvalub]

Кирилл Бондарев в сообщении #212408 писал(а):

Brukvalub
огромная просьба... объясните, как из определения сходимости следует то, что мне нужно доказать?

Почитайте ссылку, которую Вам дал terminator-II.

[ewert]

только не столько 511-ю, сколько 512-ю

[Кирилл Бондарев]

Я прочитал...

Значит, ответ такой?

$\int \limits_{R} ^{\infty} f(x) dx = lim \limits_{\eta \to \infty} \int \limits_{R} ^{\eta} f(x) dx$
если этот предел существует, то интеграл сходится. Справедлива запись:
$\int \limits_{R} ^{\eta} f(x) dx = \int \limits_{R} ^{c} f(x) dx + \int \limits_{c} ^{\eta} f(x) dx$
Устремив $\eta \to \infty$, $\int \limits_{R} ^{\eta} f(x) dx , \int \limits_{c} ^{\eta} f(x) dx$ одновременно имеют предел или не имеют его. Если имеют, то
$\int \limits_{R} ^{\infty} f(x) dx = \int \limits_{R} ^{c} f(x) dx + \int \limits_{c} ^{\infty} f(x) dx$, значит, если интеграл сходится, то $\lim\limits_{c \to \infty} \int \limits_{c} ^{\infty} f(x) dx=0$

[Brukvalub]

Кирилл Бондарев в сообщении #212415 писал(а):

Если имеют, то
$\int \limits_{R} ^{\infty} f(x) dx = \int \limits_{R} ^{c} f(x) dx + \int \limits_{c} ^{\infty} f(x) dx$, значит, если интеграл сходится, то $\lim\limits_{c \to \infty} \int \limits_{c} ^{\infty} f(x) dx=0$

Вот это - верное рассуждение.