Сходимость интеграла

[Кирилл Бондарев]

Подскажите, пожауйста, как объяснить, что $\int\limits_{-\infty}^{-R}\frac {e^{2\pi i \xi x}} {1+(2 \pi \xi)^2}d\xi \to \limits_{R\to \infty} 0$?

Заранее огромное спасибо!

[Brukvalub]

Это сразу следует прямо из определения сходимости несобственного интеграла.

[Кирилл Бондарев]

Видимо, я плохо его понял (в смысле определение)...

Не могли бы вы объяснить подоходчивее?

[ewert]

Объяснение состояло в следующем: если несобственный интеграл вообще сходится, то его хвост обязан стремиться к нулю просто по определению сходимости интеграла. Если же интеграл расходится, то и хвост не имеет смысла. Поскольку по определению $\int_0^{\infty}$ есть предел $\int_0^R$ -- и, следовательно, предел $\int_R^{\infty}\equiv\int_0^{\infty}-\int_0^R$ есть ноль.

Другой вопрос -- почему сходится конкретно этот интеграл. Просто оцените подинтегральную функцию по модулю.

[Кирилл Бондарев]

вот в оценке подынтегральной функции я как раз и не знаю, что делать....
ведь экспонента в числителе всегда побеждает квадрат в знаменателе....
и получается, что подынтегральная функция стремится к бесконечности...

[ewert]

там же экспонента с чисто мнимым показателем. Чему равен модуль такой экспоненты?...

[Кирилл Бондарев]

$- \frac {1} {\pi}$?

[matan]

Оцените экспоненту при помощи формул Эйлера

[ewert]

Кирилл Бондарев писал(а):

$- \frac {1} {\pi}$?

Прелесть. Мало того что неверно, так ещё и отрицательно.

[Кирилл Бондарев]

ой)

получается, что $|e^{i\phi}|<|cos(\phi)|+|i||sin(\phi)|<1+1=2$

Так?

[ewert]

"Формально правильно, а по существу -- издевательство." $\copyright$

Чему равен модуль комплексного числа?

Когда выведите -- зазубрите ответ, пожалуйста. Это один из тех (достаточно редких в математике) случаев, когда его надо именно вызубрить.

[Brukvalub]

Полезно бы знать, что модуль экспоненты с чисто мнимым показателем равен 1. Это следует из основного триг.тождества, которое проходят в 9-м классе.

[Кирилл Бондарев]

вся проблема в том, что у нас не было курса ТФКП....

$|z|=\sqrt{a^2+b^2}$ а значит $|e^{i\phi}|=\sqrt{cos^2 (\phi)+sin^2(\phi)}=1$

Значит, $|\frac {e^{2 \pi i \xi}} {1+(2 \pi \xi)^2}|<|\frac {1} {1+(2 \pi \xi)^2}| \to \limits_{\xi \to \infty} 0$?

[Brukvalub]

Кирилл Бондарев в сообщении #212391 писал(а):

Значит, $|\frac {e^{2 \pi i \xi}} {1+(2 \pi \xi)^2}|<|\frac {1} {1+(2 \pi \xi)^2}| \to \limits_{\xi \to \infty} 0$?

Это, конечно, так, только для ответа на исходный вопрос данный предел мало помогает...

[Кирилл Бондарев]

А как же тогда ответить на исходный вопрос?

Пожалуйста, помогите...