2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Квадратичная функция
Сообщение07.05.2009, 21:14 


30/04/09
81
Нижний Новгород
Задание:


Квадратичную функцию $h(x)$ привести к каноническому базису. Где $h(x)$ - это сумма всех элементов матрицы $X^2$; где $X \in \mathbb{R}^{n * n}$


Ни как не могу придумать решение, перебробовал всевозможные замены, например:

Если $X=(x_{ij})$ понятно что $h(x)=\sum\limits_{i=1}^n \sum\limits_{k=1}^n\sum\limits_{j=1}^n x_{ij}*x_{jk}$

Первое что пришло в голову получить новые квадраты разнообразными заменами например
$$ x'_{ij}=x_{ij}$$ если $i\not=jj$ и $x_{ii}=(x'_{i1}+x'_{i2}+...+x'_{ii-1}+x'_{ii+1}+...+x'_{in}+x'_{1i}+...+x'_{i-1i}+x'_{i+1i}+...+x'_{ni})$

там получаются неимоверные выкладки...

Пытался рассматривать сначала просто сумму элементов не всей матрицы $X^2$ а только первой строки, но там тоже все как-то не больно приводится.

Рассматривал двумерный матрицы и трехмерные, Методом Лагранжа все приводится, но обобщить его для этого преобразования для матрицы порядка n как мне видется не представляется возможным.

Подкиньте пожалуйста идеку, как можно еще попробовать привести эту квадртичную форму к кананическому виду.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение07.05.2009, 21:48 


20/04/09
1067
INDIGO1991 в сообщении #211897 писал(а):
Квадратичную функцию $h(x)$ привести к каноническому базису. Где $h(x)$ - это сумма всех элементов матрицы $X^2$; где $X \in \mathbb{R}^{n * n}$

$B$ -- кавадратная матрица все элементы которой равны 1.
тогда
$h=tr(BX^2)=tr(XBX)$
делаем замену переменной $X=C^{-1}YC$
получаем
$h=tr(C^{-1}YCBC^{-1}YC)=tr(YCBC^{-1}Y)$
матрица $B$ симметрична; Т.к. $rang B=1$ то все ее собств. числа кроме одного равны нулю, оставшеесся собств. число равно $tr(B)=n$. Следовательно при надлежащем выборе $C$
$CBC^{-1}=diag (n,0,\ldots,0)$
ответ сами запишите

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение07.05.2009, 22:05 


30/04/09
81
Нижний Новгород
А что из себя представляет матрица $Y$?
и вообще говоря когда я запишу след получившейся матрицы у меня снова получится та тройная сумма, а не как ни квадратичная форма в каноническом виде мы не делали ни какой замены. или я что-то не понимаю?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение07.05.2009, 22:43 


20/04/09
1067
INDIGO1991 писал(а):
А что из себя представляет матрица $Y$?
и вообще говоря когда я запишу след получившейся матрицы у меня снова получится та тройная сумма, а не как ни квадратичная форма в каноническом виде мы не делали ни какой замены. или я что-то не понимаю?

замена была сделана, от старых переменных -- компонент матрицы $X$ перешли к новым переменным -- компонентам матрицы $Y$

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение07.05.2009, 23:04 


30/04/09
81
Нижний Новгород
И что это нам дает?
Я не понимаю сути всех этих преобразований в итоге получится тоже снова почти квадрат матрицы, только $Y$.
Матрица $C$ - тогда показывает связь старых переменных и новых?

Добавлено спустя 10 минут 11 секунд:

для 2 мерного случая мы получаем $2y^2_{11}+2y_{21}y_{12}$
А это всяко не каноническая форма

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение07.05.2009, 23:15 


20/04/09
1067
INDIGO1991 писал(а):
И что это нам дает?
Я не понимаю сути всех этих преобразований в итоге получится тоже снова почти квадрат матрицы, только $Y$.
Матрица $C$ - тогда показывает связь старых переменных и новых?

Добавлено спустя 10 минут 11 секунд:

для 2 мерного случая мы получаем $2y^2_{11}+2y_{21}y_{12}$
А это всяко не каноническая форма


а с чего Вы взяли, что я буду Вам сюда все решение выписывать? Я и так разжевал больше чем следовало. Думайте, это полезно.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение08.05.2009, 16:53 


30/04/09
81
Нижний Новгород
INDIGO1991 писал(а):
для 2 мерного случая мы получаем $2y^2_{11}+2y_{21}y_{12}$
А это всяко не каноническая форма


для случая n = 2 если даже принимать во внимание только
terminator-II писал(а):
$h=tr(C^{-1}YCBC^{-1}YC)=tr(YCBC^{-1}Y)$
$CBC^{-1}=diag (n,0,\ldots,0)$


то получается то что я написал до этого, но как я надеюсь вам terminator-II известно это не каноническая форма записи квадратичной функции.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение08.05.2009, 18:45 


20/04/09
1067
INDIGO1991 писал(а):
INDIGO1991 писал(а):
для 2 мерного случая мы получаем $2y^2_{11}+2y_{21}y_{12}$
А это всяко не каноническая форма


для случая n = 2 если даже принимать во внимание только
terminator-II писал(а):
$h=tr(C^{-1}YCBC^{-1}YC)=tr(YCBC^{-1}Y)$
$CBC^{-1}=diag (n,0,\ldots,0)$


то получается то что я написал до этого, но как я надеюсь вам terminator-II известно это не каноническая форма записи квадратичной функции.

нет это не каноническая форма. Видите ли в чем дело, молодой человек, задача, которую Вы просите решить, она относится к типу задач "со звездочкой". Это значит, что в своем вузе Вы, очевидно ,хотите сойти за умного. Вот и приложите к этому усилия.
Решать за Вас задачу никто не будет, здесь не отстойник для двоешников. Выпишите выражение$ tr(YCBC^{-1}Y)$ в общем виде через компоненты матрицы $Y$ -- поговорим.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение08.05.2009, 18:58 


30/04/09
81
Нижний Новгород
Это есть зачетная задачка. И такую или подобные задачи получила вся группа, я над ней уже месяц бьюсь, просто так я на этом форуме помощи не прошу, если уж только совсем плохо.
Мне не надо подробного решения, мне нужнен какой-то полезный совет. А дальше я сам все смогу реализовать.
Я понял основную идею, предложенную вами.
Но правда не доконца разобрался с решением, пока не доконца, но мысли еще есть.
И тогда и только тогда когда их вообще не будет я буду обращаться к посторонней помощи.

Спасибо Вам,terminator-II, за идею, я надеюсь, что смогу разобраться в ней окончательно.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение08.05.2009, 19:04 


20/04/09
1067
Вы форму $xy$ к каноническому виду привести можете? Вот и там тоже самое осталось. Один шаг надо сделать

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение08.05.2009, 20:38 


30/04/09
81
Нижний Новгород
да могу
$x=x'+y'$
$y=x'-y'$

так сейчас все сделаю. И выложу получившийся результат.

Добавлено спустя 1 час 28 минут 56 секунд:

$ tr(YCBC^{-1}Y)=n(y^2_{11}+y_{21}y_{12}+y_{31}y_{13}+...+y_{n1}y_{1n}) $
:)

Спасибо, огромное!!!!

 Профиль  
                  
 
 Re: Квадратичная функция
Сообщение30.05.2009, 12:36 


30/04/09
81
Нижний Новгород
Помогите пожалуйста объяснить почему здесь $X=C^{-1}YC$ есть замена координат.

 Профиль  
                  
 
 Re: Квадратичная функция
Сообщение30.05.2009, 13:02 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13626
Москва
INDIGO1991 в сообщении #218298 писал(а):
Помогите пожалуйста объяснить почему здесь $X=C^{-1}XC$ есть замена координат.
Во-первых, слева и справа X вряд ли один и тот же.
Во-вторых, для ортогональной матрицы С ее транспонирование совпадает с обращением, а уж если заменить обратную матрицу на транспонированную, то получится стандартный закон изменения матрицы квадратичной формы при переходе к новому базису.

 Профиль  
                  
 
 Re: Квадратичная функция
Сообщение30.05.2009, 13:23 


20/04/09
1067
Brukvalub в сообщении #218304 писал(а):
Во-вторых, для ортогональной матрицы С ее транспонирование совпадает с обращением, а уж если заменить обратную матрицу на транспонированную, то получится стандартный закон изменения матрицы квадратичной формы при переходе к новому базису.

Вы не о том говорите, матрица $X$ не является матрицей квадратичной формы, в частности она не обязана быть симметричной, а $C$ не обязана быть ортогональной

 Профиль  
                  
 
 Re: Квадратичная функция
Сообщение30.05.2009, 13:28 


30/04/09
81
Нижний Новгород
Эээ. А матрица $C$ точно ортоганальная?
Просто я пытался её находить и она у меня получилась не таковой{возможно я криво посчитал}.
А как то из общих соображений опредильть ортоганальность не получается.
Я сейчас пытаюсь найти ортонормированыи базис преобр В, в котором её вид будет диаг.
Сейчас может найду.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 19 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group