Как правильно разложить на рациональные дроби?

[Leox]

Рассмотрим следующую рациональную функцию

$$ \frac{A(x,y)}{(1-x^{n_1} y^{m_1}) (1-x^{n_2}y^{m_2}) \ldots (1-x^{n_k} y^{m_k})}, $$

здесь $A(x,y)$ - многочлен от $x,y$ суммарная степень кототого меньше степени знаменателя, числа $n_k,m_k$ взаимно простые.
Имеем ли мы право утверждать что эта рациональна функция разлагается в сумму дробей такого вида

$$ \frac{A_1(x,y)}{1-x^{n_1}y^{m_1}}+\ldots+\frac{A_k(x,y)}{1-x^{n_k}y^{m_k}}. $$

здесь $A_i(x,y) -$ многочлены.

[RIP]

Нет. Рассмотрите

$$\frac1{(1-x^2y^3)(1-x^5y^7)}.$$

[maxal]

Нет.
Например,

$$\frac{1}{(1-x^2 y)(1-x y^2)}$$

так не разложишь.

[RIP]

Даже так. Если $A(x,y)=1$ и $k\ge2$, то такое представление невозможно.

[Leox]

А как тогда можно разложить? Нужно разлагать на множители каждую скобку и далее действовать как в случае одной переменной?

[maxal]

А кто сказал, что такое разложение вообще существует?

[RIP]

Разложить можно много как. Например, оставить в нетронутом виде. По-видимому, в более-менее общем случае ничего лучше не получится. Многочлены от нескольких переменных ведут себя гораздо более гнусно, чем их "младшие" собратья. Хотя не берусь ничего утверждать.

[Leox]

maxal писал(а):

А кто сказал, что такое разложение вообще существует?

Для некоторых наборов $n_i, m_i$ существование такого разложения следует из других соображений.

Добавлено спустя 11 минут 14 секунд:

maxal писал(а):

Нет.
Например,

$$\frac{1}{(1-x^2 y)(1-x y^2)}$$

так не разложишь.

хотя можно разлоджить на дроби со знаменателями $(1-x \sqrt{y}), (1+x \sqrt{y}), (1-x y^2)$ правда в числителях появятся дробные степени

[maxal]

Leox
Если известно, что разложение существует, то его можно найти методом неопределенных коэффициентов.

[Leox]

спасибо. Я уже разобрался с этим. Указанная функция действительно разлагается на такие дроби, только в числителе будут не многочлены от $x,y$ а многочлены от $x^{\alpha}$ или $y^{\alpha}$ где$\alpha$ некоторое рациональное число.