2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Как правильно разложить на рациональные дроби?
Сообщение06.05.2009, 22:59 
Рассмотрим следующую рациональную функцию
$$
\frac{A(x,y)}{(1-x^{n_1} y^{m_1}) (1-x^{n_2}y^{m_2}) \ldots (1-x^{n_k} y^{m_k})},
$$
здесь $A(x,y)$ - многочлен от $x,y$ суммарная степень кототого меньше степени знаменателя, числа $n_k,m_k$ взаимно простые.
Имеем ли мы право утверждать что эта рациональна функция разлагается в сумму дробей такого вида
$$
\frac{A_1(x,y)}{1-x^{n_1}y^{m_1}}+\ldots+\frac{A_k(x,y)}{1-x^{n_k}y^{m_k}}.
$$
здесь $A_i(x,y) -$ многочлены.

 
 
 
 
Сообщение06.05.2009, 23:03 
Аватара пользователя
Нет. Рассмотрите
$$\frac1{(1-x^2y^3)(1-x^5y^7)}.$$

 
 
 
 
Сообщение06.05.2009, 23:06 
Аватара пользователя
Нет.
Например, $$\frac{1}{(1-x^2 y)(1-x y^2)}$$ так не разложишь.

 
 
 
 
Сообщение06.05.2009, 23:06 
Аватара пользователя
Даже так. Если $A(x,y)=1$ и $k\ge2$, то такое представление невозможно.

 
 
 
 
Сообщение06.05.2009, 23:10 
А как тогда можно разложить? Нужно разлагать на множители каждую скобку и далее действовать как в случае одной переменной?

 
 
 
 
Сообщение06.05.2009, 23:15 
Аватара пользователя
А кто сказал, что такое разложение вообще существует?

 
 
 
 
Сообщение06.05.2009, 23:19 
Аватара пользователя
Разложить можно много как. Например, оставить в нетронутом виде. По-видимому, в более-менее общем случае ничего лучше не получится. Многочлены от нескольких переменных ведут себя гораздо более гнусно, чем их "младшие" собратья. Хотя не берусь ничего утверждать.

 
 
 
 
Сообщение06.05.2009, 23:41 
maxal писал(а):
А кто сказал, что такое разложение вообще существует?


Для некоторых наборов $n_i, m_i$ существование такого разложения следует из других соображений.

Добавлено спустя 11 минут 14 секунд:

maxal писал(а):
Нет.
Например, $$\frac{1}{(1-x^2 y)(1-x y^2)}$$ так не разложишь.

хотя можно разлоджить на дроби со знаменателями $(1-x \sqrt{y}), (1+x \sqrt{y}), (1-x y^2)$ правда в числителях появятся дробные степени

 
 
 
 
Сообщение06.05.2009, 23:53 
Аватара пользователя
Leox
Если известно, что разложение существует, то его можно найти методом неопределенных коэффициентов.

 
 
 
 
Сообщение07.05.2009, 08:39 
спасибо. Я уже разобрался с этим. Указанная функция действительно разлагается на такие дроби, только в числителе будут не многочлены от $x,y$ а многочлены от $x^{\alpha}$ или $y^{\alpha}$ где$\alpha$ некоторое рациональное число.

 
 
 [ Сообщений: 10 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group