"Коммутирование" спектров

[id]

Вспомнилась одна задачка, которую когда-то недоделал , и стало интересно, как же ее все-таки правильно доделать.
Задачка такая:

Цитата:

Доказать, что характеристический многочлен матрицы $AB$ совпадает с характеристическим многочленом матрицы $BA$.

Может, ничего хитрее прямых вычислений тут и не надо, но эти самые вычисления что-то и не выходят.

P.S. Для бескононечномерных пространств и операторов на них все не так, конечно, $\sigma(AB) \neq \sigma(BA)$. Например, в пространстве всех многочленов с равномерной нормой на отрезке, с операторами неопределенного интегрирования и дифференциирования. Какой красивый пример подойдет для операторов, действующих в банаховых/гильбертовых пространствах? Причём ограниченных операторов.

[vlad239]

Матрицы $AB$ и $BA$ сопряжены матрицей $A^{-1}$, если такая существует.
Полиномиальная аргументация убивает и оставшийся случай.

Влад.

[id]

vlad239
Вот как раз полиномиальная аргументация и интересует.

[vlad239]

Все стандартно. Докажите следующие факты.
1) коэффициенты характеристического многочлена (первого и второго) есть многочлены от элементов исходных матриц.
2) Если два многочлена от нескольких переменных совпадают при всех значениях переменных - они равны.
3) Если совпадают при всех значениях переменных кроме тех, для которых некий другой многочлен $H=0$, то тоже равны.

Теперь возьмите $H=\det(A)$ и возрадуйтесь.

Влад.

[id]

vlad239
Пункт один достаточно ясен.
Пункт два: Пусть $f,g$ - данные многочлены, тогда везде $f-g=h \in K[x_1...x_n], h(x_1...x_n) = 0 \Rightarrow h = 0$, т.к. алгебра без делителей нуля.
Пункт три: Возьмем $H(f-g) = 0$ опять же для любого набора переменных, откуда аналогично $f=g$.

Вроде бы так. Спасибо!

Примеры по поводу P.S. по-прежнему интересуют.

[vlad239]

Пункт 2 поподробнее распишите. Например для конечных полей он неверен. $x^p-x=0$ при всех $x$.

Влад.

[id]

vlad239
Есть же утверждение о том, что если поле $K$ бесконечно, то разные многочлены из $K[x_1...x_n]$ определяют разные функции.

[vlad239]

Ну да, есть.
Если Вы его знаете - то можно пользоваться, конечно. А то фрызу про алгебру без делителей нуля я не понял как-то.

Влад.

[id]

vlad239
Немного не додумал, ко второму пункту проще непосредственно утверждение выше использовать.
А по третьему - именно исходя из того, что делителей нуля нет. То есть $H$ - ненулевой, $H(f-g) = 0 \Rightarrow f=g$

[terminator-II]

id писал(а):

Вспомнилась одна задачка, которую когда-то недоделал , и стало интересно, как же ее все-таки правильно доделать.
Задачка такая:

Цитата:

Доказать, что характеристический многочлен матрицы $AB$ совпадает с характеристическим многочленом матрицы $BA$.

Может, ничего хитрее прямых вычислений тут и не надо, но эти самые вычисления что-то и не выходят.

P.S. Для бескононечномерных пространств и операторов на них все не так, конечно, $\sigma(AB) \neq \sigma(BA)$. Например, в пространстве всех многочленов с равномерной нормой на отрезке, с операторами неопределенного интегрирования и дифференциирования. Какой красивый пример подойдет для операторов, действующих в банаховых/гильбертовых пространствах? Причём ограниченных операторов.

$|AB-\lambda E|=|A||B-\lambda A^{-1}|=|B-\lambda A^{-1}||A|=|BA-\lambda E|$
Если $|A|=0$ То возьмем близкую к $A$ матрицу $A_\varepsilon,\quad |A_\varepsilon|\ne 0$ такую, что $A_\varepsilon\to A$ при $\varepsilon\to 0$ в какой-нибудь стандартной матричной норме; и перейдем в формуле $|A_\varepsilon B-\lambda E|=|BA_\varepsilon-\lambda E|$ к пределу при $\varepsilon\to 0$

[vlad239]

Что Вы понимаете под определителем оператора в бесконечномерном пространстве? Там и спектр - гораздо более хитрая штука...

Влад.

[terminator-II]

vlad239 в сообщении #211567 писал(а):

Что Вы понимаете под определителем оператора в бесконечномерном пространстве?

а Вы?

vlad239 в сообщении #210974 писал(а):

Теперь возьмите $H=\det(A)$ и возрадуйтесь.

Это во-первых. А во-вторых, я писал про матрицы, где в моем посте написано про оператор в бесконечномерном пространстве?

vlad239 в сообщении #211567 писал(а):

Там и спектр - гораздо более хитрая штука...

Вы это на пятой переcдаче функана осознали и решили мне поведать?

[ewert]

terminator-II в сообщении #211588 писал(а):

Это во-первых. А во-вторых, я писал про матрицы, где в моем посте написано про оператор в бесконечномерном пространстве?

Между прочим, Ваше воистину замечательное док-во не сработает для конечных полей.

[vlad239]

Полиномиальная аргументация кстати тоже. Ее придется дополнить еще одним шагом - эти равенства выполнены при вещественных аргументах, поэтому выполнены формально, поэтому выполнены над конечным полем.

Влад.